Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{1+n^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n^{3}}{1+n^{5}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC).
O conteúdo principal envolve o teste da série alternante (Leibniz) e o teste de comparação para a série de termos positivos (para verificar convergência absoluta).

Passo 2

Defina
a_{n}=\frac{n^{3}}{1+n^{5}}\;.
  1. Limite de a_{n}:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{5}(1+1/n^{5})} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}(1+1/n^{5})} =0.
  1. Monotonicidade eventual de a_{n}: para n grande, a_{n+1}<a_{n} (pois o denominador cresce mais rápido que o numerador).
    Como \{a_{n}\} é positiva, decrescente (eventualmente) e tende a zero, a série alternante converge pelo teste de Leibniz.

Passo 3

Verificamos a convergência absoluta analisando
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\,\tfrac{n^{3}}{1+n^{5}}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{1+n^{5}}.
Para n\ge1 vale 1+n^{5}\ge n^{5}, logo
\frac{n^{3}}{1+n^{5}}\le\frac{n^{3}}{n^{5}}=\frac{1}{n^{2}}.
Como \sum1/n^{2} é convergente (p-série com p=2>1), pelo teste da comparação a série de termos positivos converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.

Resposta

(AC) absolutamente convergente.

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