Classifique cada sistema linear seguinte. Se possível determine o conjunto solução de cada sistema.
(a) \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=11 \\\\ 4 x-3 y+2 z=0 \\\ x+y+z=6 \\\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema de quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z:
(1)\quad 2x - y + 3z = 11, \quad (2)\quad 4x - 3y + 2z = 0,
(3)\quad x + y + z = 6, \quad (4)\quad 3x + y + z = 4.
O objetivo é usar eliminação de Gauss para encontrar o conjunto-solução e classificar o sistema como possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

Passo 2

Para eliminar incógnitas, subtraímos a equação (3) de (4):
(4)-(3):\quad (3x+y+z)-(x+y+z)=4-6
Logo
2x = -2
e daí
x = -1.

Passo 3

Substituindo x=-1 na equação (3),
-1 + y + z = 6
temos
y + z = 7.
Denotamos essa relação por (5).

Passo 4

Substituindo x=-1 na equação (1),
2(-1) - y + 3z = 11
vem
-2 - y + 3z = 11 \quad\Longrightarrow\quad -y + 3z = 13 \quad\Longrightarrow\quad y = 3z - 13.
Chamamos isso de (6).

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado por (5)\) e \((6)\): \[\begin{cases} y + z = 7,\\\ y = 3z - 13. \end{cases}
Substituindo y\] de \((6) em (5):
(3z - 13) + z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 4z = 20 \quad\Longrightarrow\quad z = 5.
Então
y = 3\cdot5 - 13 = 2.

Passo 6

Verificamos na equação (2):
4x - 3y + 2z = 4(-1) - 3(2) + 2(5) = -4 -6 + 10 = 0,
confere. Assim a única solução é
(x,y,z)=(-1,2,5).

Passo 7

Como encontramos uma única solução e o posto da matriz dos coeficientes é 3 (igual ao número de incógnitas), o sistema é possível e determinado.

Resposta

O sistema é possível e determinado, com solução \{(x,y,z)=(-1,2,5)\}.

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