Classifique o comportamento das séries
$ \sum_{n=1} \left( \frac{n + 4}{n^4 + \sqrt{n} + 7} \right)$
$ \sum_{n=1} \left( \frac{n + 4}{n^4 + \sqrt{n} + 7} \right)$
Passo 1
O enunciado pede para classificar o comportamento da série
O conteúdo é séries de termos positivos, e vamos precisar usar o teste de comparação e a noção de p-série.
Passo 2
Para grandes valores de
, no numerador
o termo dominante é
, e no denominador
o termo dominante é
. Assim, o termo geral se comporta como
Recordando o teste de p-série: a série
converge se e somente se
. No nosso caso,
, então
converge.
Passo 3
Vamos usar o teste da comparação limite entre
e
. Calculamos
No numerador dominante nós temos
e no denominador também
, logo o limite é 1, um número finito e não nulo.
Passo 4
Pelo teste da comparação limite, como esse limite é um número finito e positivo, a série
tem o mesmo comportamento de
. E como
converge, concluímos que a série dada também converge. Além disso, por ser série de termos positivos, ela converge absolutamente.
Resposta
A série é convergente (converge absolutamente).