Classifique o comportamento das séries
$ \sum_{n=1} \left( \frac{n + 4}{n^4 + \sqrt{n} + 7} \right)$

Passo 1

O enunciado pede para classificar o comportamento da série
sumn=1^infty n + 4n^4 + raizn + 7
O conteúdo é séries de termos positivos, e vamos precisar usar o teste de comparação e a noção de p-série.

Passo 2

Para grandes valores de n, no numerador n + 4 o termo dominante é n, e no denominador n^4 + raizn + 7 o termo dominante é n^4. Assim, o termo geral se comporta como
n + 4n^4 + raizn + 7 sim nn^4 = 1n^3
Recordando o teste de p-série: a série sum 1/n^p converge se e somente se p>1. No nosso caso, p=3>1, então sum 1/n^3 converge.

Passo 3

Vamos usar o teste da comparação limite entre an = (n+4)/(n^4+raiz n+7) e bn=1/n^3. Calculamos
limntoinfty anbn = limntoinfty (n+4)/(n^4+raiz n+7)1/n^3 = limntoinfty n^3(n+4)n^4+raiz n+7
No numerador dominante nós temos n^4 e no denominador também n^4, logo o limite é 1, um número finito e não nulo.

Passo 4

Pelo teste da comparação limite, como esse limite é um número finito e positivo, a série sum an tem o mesmo comportamento de sum bn. E como sum 1/n^3 converge, concluímos que a série dada também converge. Além disso, por ser série de termos positivos, ela converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente (converge absolutamente).

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