Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência: c) f(x)=sen x

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a série de Maclaurin de f(x)=sen x e indicar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é série de Taylor (caso especial Maclaurin) e vamos usar a definição que expressa a função como soma de derivadas em zero multiplicadas por potências de x.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de sen x e as avaliamos em x=0 para identificar quais termos são não nulos:
f(x)=sen x ⇒ f(0)=0
f′(x)=cos x ⇒ f′(0)=1
f″(x)=−sen x ⇒ f″(0)=0
f‴(x)=−cos x ⇒ f‴(0)=−1
f⁽⁴⁾(x)=sen x ⇒ f⁽⁴⁾(0)=0
E assim por diante, repetindo o ciclo de valores 0,±1.

Passo 3

Segundo, aplicamos a definição de série de Maclaurin:
sen,x=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Como apenas as derivadas de ordem ímpar em que n=2k+1 são não nulas, substituímos n=2k+1 e usamos o padrão f{(2k+1)}(0)=(-1)k:

Passo 4

Isolando esses termos, obtemos
sen,x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!

Passo 5

Finalmente, avaliamos o raio de convergência usando o teste da razão em
ak=x^2k+1(2k+1)!
Calculando limktoinfty|ak+1/ak|=0, concluímos que o raio é R=infty, logo a série converge para todo xinR.

Resposta

sen,x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!, xinR

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