Classifique o comportamento das séries
$ \sum_{n=1} \left( \frac{n^2 + 2^n}{n + 3^n} \right)$

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^inftyn^2+2^nn+3^n. O conteúdo da matéria é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos precisar usar comparações com séries geométricas e o teste da razão.

Passo 2

Para grandes n, as potências dominam os polinômios, ou seja, n^2ll2^n e nll3^n. Isso indica que o termo geral an=n^2+2^nn+3^n se comporta como 2^n3^n=(tfrac23)^n.

Passo 3

Como n+3^n>3^n, temos a estimativa
an=n^2+2^nn+3^n

Passo 4

Vamos mostrar que as duas séries de comparação convergem:
  • Para sum n^2/3^n, aplicando o teste da razão,
L=limntoinfty(n+1)^2/3^n+1n^2/3^n=13limntoinftyl(n+1nr)^2=13<1,
logo converge.
  • A série geométrica sum(2/3)^n converge porque a razão 2/3 é menor que 1.

Passo 5

Pela comparação, 0<= an< n^2/3^n+(2/3)^n e como ambas as séries do lado direito convergem, a nossa série original converge também. Como todos os termos são não negativos, fica clara a convergência absoluta.

Resposta

Converge absolutamente.

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