Classifique o comportamento das séries
$ \sum_{n=1} \left( \frac{n^2 + 2^n}{n + 3^n} \right)$
$ \sum_{n=1} \left( \frac{n^2 + 2^n}{n + 3^n} \right)$
Passo 1
Estamos analisando a série
. O conteúdo da matéria é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos precisar usar comparações com séries geométricas e o teste da razão.
Passo 2
Para grandes
, as potências dominam os polinômios, ou seja,
e
. Isso indica que o termo geral
se comporta como
.
Passo 3
Como
, temos a estimativa
Passo 4
Vamos mostrar que as duas séries de comparação convergem:
- Para
, aplicando o teste da razão,
logo converge.
- A série geométrica
converge porque a razão é menor que 1.
Passo 5
Pela comparação,
e como ambas as séries do lado direito convergem, a nossa série original converge também. Como todos os termos são não negativos, fica clara a convergência absoluta.
Resposta
Converge absolutamente.