1-56 Calcule a integral.
integralpi / 4^pi / 2 cotg^3 x d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integralpi/4^pi/2cot^3 x,dx. O conteúdo envolve a integração de potências ímpares de cotangente. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica cot^2 x = csc^2 x - 1, além de sabermos que integralcot x,dx = ln(sin x) e que tfracddx(csc^2 x) = -2csc^2 xcot x.

Passo 2

Aplicando a identidade, escrevemos
cot^3 x = cot x,(csc^2 x - 1) = cot x,csc^2 x - cot x
Assim, a integral se separa em
integralpi/4^pi/2cot^3 x,dx = integralpi/4^pi/2cot x,csc^2 x,dx - integralpi/4^pi/2cot x,dx

Passo 3

Para integralcot x,csc^2 x,dx notamos que
csc^2 xcot x,dx = -tfrac12,d(csc^2 x),
pois ddx(csc^2 x) = -2csc^2 xcot x. Logo,
integralcot x,csc^2 x,dx = -tfrac12,csc^2 x + C1,
e sabemos que
integralcot x,dx = ln(sin x) + C2

Passo 4

Combinando essas primitivas, uma antiderivada da função é
F(x) = -tfrac12,csc^2 x - ln(sin x)

Passo 5

Agora avaliamos entre x=pi/4 e x=pi/2:
Fl(tfracpi2r) = -tfrac12 - ln(1) = -tfrac12,
Fl(tfracpi4r) = -1 - lnl(tfracraiz22r) = -1 + tfrac12ln 2
Fazendo F(pi/2)-F(pi/4), obtemos
-tfrac12 -l(-1 + tfrac12ln 2r) = tfrac12 - tfrac12ln 2 = tfrac1 - ln 22

Resposta

1 - ln 22

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