Prove que
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=\mathbb{R}^{2},\left|\binom{a}{b}\right|=\max {|a|,|b|}
)
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=\mathbb{R}^{2},\left|\binom{a}{b}\right|=\max {|a|,|b|}
)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
dada por
é uma norma em
. Para isso, vamos verificar as três propriedades de norma:
- Positividade e definitude.
- Homogeneidade absoluta.
- Desigualdade triangular.
Passo 2
(Positividade e definitude)
Primeiro, note que e
, logo
, ou seja,
Primeiro, note que
Agora, se
então
, o que implica
e
. Logo
e
.
Reciprocamente, se então
. Portanto
Reciprocamente, se
Passo 3
(Homogeneidade absoluta)
Tomemos e
. Então
Tomemos
Passo 4
(Desigualdade triangular)
Sejam e
. Usando
e similarmente para a segunda coordenada, temos
Sejam
Mas para quaisquer números não negativos
vale
. Aplicando com
,
,
,
, obtemos
Passo 5
Concluímos que
satisfaz as três propriedades de uma norma em
.
Resposta
A aplicação
definida por
é, de fato, uma norma em
.