Prove que
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=\mathbb{R}^{2},\left|\binom{a}{b}\right|=\max {|a|,|b|}
)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
dada por
é uma norma em . Para isso, vamos verificar as três propriedades de norma:
  1. Positividade e definitude.
  2. Homogeneidade absoluta.
  3. Desigualdade triangular.

Passo 2

(Positividade e definitude)
Primeiro, note que lvert arvert>=0 e lvert brvert>=0, logo
maxlvert arvert,lvert brvert>=0, ou seja,
|v|>=0para todo vinR^2
Agora, se |v|=0 então maxlvert arvert,lvert brvert=0, o que implica
lvert arvert=0 e lvert brvert=0. Logo a=b=0 e v=(0,0).
Reciprocamente, se v=(0,0) então |v|=max0,0=0. Portanto
|v|=0iff v=0

Passo 3

(Homogeneidade absoluta)
Tomemos lambdainR e v=(a,b). Então
|lambda v| =|,( lambda a,;lambda b)| =maxlvert lambda arvert,lvert lambda brvert =maxlvertlambdarvertlvert arvert,lvertlambdarvertlvert brvert =lvertlambdarvert,maxlvert arvert,lvert brvert =lvertlambdarvert,|v|

Passo 4

(Desigualdade triangular)
Sejam v=(a,b) e w=(c,d). Usando lvert a+crvert<=lvert arvert+lvert crvert e similarmente para a segunda coordenada, temos
|v+w| =maxlvert a+crvert,lvert b+drvert <=maxlvert arvert+lvert crvert,;lvert brvert+lvert drvert
Mas para quaisquer números não negativos X1,X2,Y1,Y2 vale
maxX1+Y1,;X2+Y2<=maxX1,X2+maxY1,Y2. Aplicando com
X1=lvert arvert, X2=lvert brvert, Y1=lvert crvert, Y2=lvert drvert, obtemos
|v+w|<=maxlvert arvert,lvert brvert+maxlvert crvert,lvert drvert =|v|+|w|

Passo 5

Concluímos que |cdot| satisfaz as três propriedades de uma norma em R^2.

Resposta

A aplicação |cdot|colonR^2toR definida por
|(a,b)|=maxlvert arvert,lvert brvert é, de fato, uma norma em V=R^2.

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