Classifique a cônica: x^2-2 x y+y^2+4 x- 4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada por
x^2-2xy+y^2+4x-4y=0
Aqui vamos usar o critério envolvendo o discriminante B^2-4AC de uma equação geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
para determinar se é elipse, hipérbole, parábola ou cônica degenerada.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral:
A=1, B=-2, C=1, D=4, E=-4, F=0
Calculamos o discriminante
De<a1 = B^2-4AC = (-2)^2-4cdot1cdot1 = 4-4 = 0
Quando De<a1=0, a cônica é ou uma parábola ou uma cônica degenerada.

Passo 3

Para verificar se é degenerada, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes (incluindo termos lineares e constante):
A & B/2 & D/2 B/2 & C & E/2 D/2 & E/2 & F = 1 & -1 & 2 -1 & 1 & -2 2 & -2 & 0 =0
Como esse determinante também é zero, a cônica é degenerada.

Passo 4

Observamos que
x^2-2xy+y^2=(x-y)^2
Logo a equação fica
(x-y)^2+4x-4y=0

Passo 5

Definimos a nova variável ,u = x - y. Então 4x-4y=4(x-y)=4u e a equação vira
u^2+4u=0 Longrightarrow u(u+4)=0
Isso corresponde às duas retas paralelas
u=0 e u=-4,
ou seja
x-y=0 e x-y=-4

Resposta

A cônica é degenerada e decompõe-se em duas retas paralelas:
x - y = 0 e x - y = -4

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