Considere a matriz:
A=(lll 3 & 3 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 )
Para cada autoespaço encontrado, encontre uma base.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 3 & 3 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
e pede os autoespaços de A. Para isso vamos precisar calcular os autovalores (valores próprios) resolvendo det(A-lambda I)=0 e, em seguida, para cada lambda, achar o núcleo de A-lambda I, que é o autoespaço correspondente.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I) =det 3-lambda & 3 & 0 0 & 2-lambda & 0 0 & 0 & 3-lambda =(3-lambda)(2-lambda)(3-lambda)
Logo os autovalores são
lambda = 2(mu<iplicidade 1), lambda = 3(mu<iplicidade 2)

Passo 3

Autoespaço para
Isso gera o sistema
Daí . Com , um vetor genérico do autoespaço é
Portanto uma base do autoespaço de é

Passo 4

Autoespaço para
Isso dá o sistema
logo e ficam livres. Com e , obtemos
Assim uma base do autoespaço de é

Resposta

Para lambda=2: base (-3,1,0).
Para lambda=3: base (1,0,0),(0,0,1).

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