Considere a matriz:
A=(lll 3 & 3 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 )
Para cada autovalor, encontre os autovetores associados.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 3 & 3 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
e pede para cada autovalor de A encontrar os autovetores associados. Lembrando que um autovalor lambda satisfaz
det(A - lambda I)=0
e que os vetores próprios (autovetores) são as soluções vneq0 de
(A - lambda I),v = 0

Passo 2

Como A é triangular, o determinante de A - lambda I é o produto das entradas diagonais de
A - lambda I = 3-lambda & 3 & 0 0 & 2-lambda & 0 0 & 0 & 3-lambda
Logo,
det(A - lambda I)=(3-lambda),(2-lambda),(3-lambda)
As raízes são lambda=2 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=3 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para
e resolvemos . As equações são
Da primeira vem , deixando livre. Um autovetor genérico é
Portanto o espaço próprio em é gerado por .

Passo 4

Para
e resolvemos . As equações são
As duas primeiras dão nem . Logo
Assim o espaço próprio em é gerado por e .

Resposta

Para lambda=2, os autovetores são múltiplos de (-3,1,0).
Para lambda=3, os autovetores são combinações lineares de (1,0,0) e (0,0,1).

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