Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
x^{2}+2 x-4 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação
x^{2}+2x-4y+1=0.
As informações relevantes que o enunciado fornece são os coeficientes da forma geral de uma cônica
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
Aqui temos:
A=1,\quad B=0,\quad C=0,\quad D=2,\quad E=-4,\quad F=1.

Passo 2

Vou te ensinar um critério rápido para classificar cônicas: o discriminante das conicas,
\Delta = B^{2}-4AC.
O que esse discriminante faz? Ele nos diz a “natureza” da parte quadrática da equação (se a equação tem termos em x^{2}\), \(xy\), \(y^{2}\)). As regras de classificação são: \[\begin{cases} \Delta>0 &\Rightarrow\\ \text{hipérbole},\\[4pt] \Delta=0 &\Rightarrow\\ \text{parábola},\\[4pt] \Delta<0 &\Rightarrow\\ \text{elipse (ou circunferência se, além disso, }A=C\text{ e }B=0). \end{cases}
Aqui cada símbolo significa:
  • A\] é o coeficiente de \(x^{2},
  • B é o coeficiente de xy,
  • C é o coeficiente de y^{2}.
Esse critério é muito prático na prova: calcula-se \Delta e você já classifica rápido.]

Passo 3

Vamos aplicar o critério com os valores que identificamos no Passo 1:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 1\cdot 0 = 0-0 = 0.
Como \Delta=0, pela regra acima a cônica é uma parábola. OK — já temos a classificação. Mas para você aprender bem como reconhecer e trabalhar com parábolas, vamos transformar a equação na forma canônica da parábola (isso também é útil para identificar vértice, foco e diretriz na prova).

Passo 4

Transformação por completamento do quadrado (passo a passo, sem pular etapas):
Começamos com
x^{2}+2x-4y+1=0.
Agrupamos os termos em x e isolamos y:
(x^{2}+2x)+(-4y)+1=0.
Focamos no polinômio em x: x^{2}+2x. Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de x. Metade de 2 é 1; seu quadrado é 1. Então
x^{2}+2x = (x^{2}+2x+1)-1 = (x+1)^{2}-1.
Substituindo na equação:
(x+1)^{2}-1-4y+1=0.
Os constantes -1 e +1 cancelam:
(x+1)^{2}-4y=0.
Isolando y:
(x+1)^{2}=4y.
Essa é a forma padrão de uma parábola com eixo vertical.

Passo 5

Interpretando a forma padrão. A forma geral de uma parábola com eixo vertical é
(x-h)^{2}=4p(y-k),
onde:
  • (h,k) é o vértice,
  • p é a distância do vértice ao foco (e também ao afastamento da diretriz),
  • se p>0 a parábola abre para cima; se p<0 abre para baixo.
Comparando com (x+1)^{2}=4y, escrevemos
(x-(-1))^{2}=4\cdot 1\cdot (y-0).
Então:
h=-1,\quad k=0,\quad p=1.
Portanto:
  • Vértice: (-1,0).
  • Foco: (h, k+p)=(-1,0+1)=(-1,1).
  • Diretriz: y = k - p = 0-1 = -1.
  • A parábola abre para cima (porque p=1>0).
Observação prática para a prova: para classificar rápido, calcule \Delta. Se der 0, complete o quadrado para obter a forma (x-h)^{2}=4p(y-k) ou (y-k)^{2}=4p(x-h) e leia vértice/foco/diretriz.

Resposta

Parábola.

Exercícios relacionados