Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
Passo 1
O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação
As informações relevantes que o enunciado fornece são os coeficientes da forma geral de uma cônica
Aqui temos:
Passo 2
Vou te ensinar um critério rápido para classificar cônicas: o discriminante das conicas,
O que esse discriminante faz? Ele nos diz a “natureza” da parte quadrática da equação (se a equação tem termos em
Aqui cada símbolo significa:
- ,
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de .
Esse critério é muito prático na prova: calcula-se
e você já classifica rápido.]
Passo 3
Vamos aplicar o critério com os valores que identificamos no Passo 1:
Como
, pela regra acima a cônica é uma parábola. OK — já temos a classificação. Mas para você aprender bem como reconhecer e trabalhar com parábolas, vamos transformar a equação na forma canônica da parábola (isso também é útil para identificar vértice, foco e diretriz na prova).
Passo 4
Transformação por completamento do quadrado (passo a passo, sem pular etapas):
Começamos com
Agrupamos os termos em
e isolamos
:
Focamos no polinômio em
:
. Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de
. Metade de
é
; seu quadrado é
. Então
Substituindo na equação:
Os constantes
e
cancelam:
Isolando
:
Essa é a forma padrão de uma parábola com eixo vertical.
Passo 5
Interpretando a forma padrão. A forma geral de uma parábola com eixo vertical é
onde:
-
é o vértice, -
é a distância do vértice ao foco (e também ao afastamento da diretriz), - se
a parábola abre para cima; se abre para baixo.
Comparando com
, escrevemos
Então:
Portanto:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
. - A parábola abre para cima (porque
).
Observação prática para a prova: para classificar rápido, calcule
. Se der
, complete o quadrado para obter a forma
ou
e leia vértice/foco/diretriz.
Resposta
Parábola.