Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
9 x^{2}+4 y^{2}-36 x+16 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^{2}+4y^{2}-36x+16y+4=0
e pede para classificar a cônica (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola). Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=9,\quad B=0,\quad C=4,\quad D=-36,\quad E=16,\quad F=4.
O que precisamos entregar: o tipo da cônica e, idealmente, sua forma canônica / centro / semi-eixos para ficar bem claro como reconhecer esse tipo na prova.

Passo 2

Critério rápido de classificação usando o discriminante da cônica (fórmula padrão): para uma cônica geral
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0
define-se o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC,
onde A, B, C são os coeficientes dos termos quadráticos. Interpretação didática do critério:
  • Se \Delta<0 e A\neq C então é uma elipse.
  • Se \Delta<0 e A=C então é uma circunferência.
  • Se \Delta=0 então é uma parábola.
  • Se \Delta>0 então é uma hipérbole.
    Agora calculamos \Delta para os coeficientes dados:
\Delta = 0^{2}-4\cdot 9\cdot 4 = -144 < 0.
Como \Delta<0 e A=9\neq C=4, isso indica que a curva é uma elipse (ainda vamos confirmar e escrever a forma canônica completando quadrados).

Passo 3

Método de completar quadrados (vou mostrar passo a passo e explicar cada coisa) — objetivo: recolher termos em x e em y, completar quadrado em cada grupo e isolar a parte quadrática para obter a forma canônica.
Começamos reagrupando termos em x e em y:
9x^{2}-36x + 4y^{2}+16y + 4 = 0.
Fatoramos os coeficientes quadráticos em cada grupo:
9\bigl(x^{2}-4x\bigr) + 4\bigl(y^{2}+4y\bigr) + 4 = 0.
Agora completamos o quadrado dentro de cada parêntese. Lembrando: para completar o quadrado de x^{2}+px adicionamos e subtraímos (p/2)^{2}, pois
x^{2}+px = \bigl(x+\tfrac{p}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}.
No caso de x^{2}-4x, temos p=-4 e (p/2)^{2}=(-2)^{2}=4, então
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
No caso de y^{2}+4y, temos p=4 e (p/2)^{2}=2^{2}=4, então
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Substituindo essas identidades na equação:
9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) + 4\bigl((y+2)^{2}-4\bigr) + 4 = 0.
Distribuímos os coeficientes:
9(x-2)^{2} - 36 + 4(y+2)^{2} - 16 + 4 = 0.
Somamos as constantes numéricas -36-16+4 = -48, obtendo:
9(x-2)^{2} + 4(y+2)^{2} - 48 = 0.
Isolando os termos quadráticos:
9(x-2)^{2} + 4(y+2)^{2} = 48.

Passo 4

Passamos para a forma canônica dividindo ambos os lados por 48:
\frac{9(x-2)^{2}}{48} + \frac{4(y+2)^{2}}{48} = 1.
Simplificando as frações:
\frac{(x-2)^{2}}{48/9} + \frac{(y+2)^{2}}{48/4} = 1.
Calculamos os denominadores:
\frac{48}{9}=\frac{16}{3},\qquad \frac{48}{4}=12.
Logo a forma canônica é
\frac{(x-2)^{2}}{16/3} + \frac{(y+2)^{2}}{12} = 1.
Interpretação dos parâmetros:
  • Centro: os termos (x-2) e (y+2) indicam que o centro é (2,-2).
  • Semi-eixos (raios): as quantidades abaixo das parcelas são os quadrados dos semi-eixos. Então
b^{2}=\frac{16}{3},\qquad a^{2}=12,
onde a é o semi-eixo maior (escolhemos a^{2} como o maior dos dois denominadores). Portanto
a=\sqrt{12}=2\sqrt{3},\qquad b=\sqrt{\tfrac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Como não há termo xy (ou seja, B=0), os eixos principais da elipse estão alinhados com os eixos coordenados; aqui o eixo maior está na direção vertical (variável y), pois a^{2}=12>16/3=b^{2}.

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova (como identificar em 2 segundos):
  • Calcule \Delta=B^{2}-4AC. Se \Delta<0 e A\neq C é elipse; se ainda A=C é círculo.
  • Se B=0 (sem termo xy), os eixos estão alinhados com x e y.
  • Para obter centro e semi-eixos, complete quadrados.
Aplicando tudo: temos \Delta=-144<0, A\neq C, B=0 e a forma canônica obtida acima, portanto é uma elipse centrada em (2,-2) com semi-eixos a=2\sqrt{3} (vertical) e b=4/\sqrt{3} (horizontal).

Resposta

Elipse; centro em (2,-2); equação canônica \displaystyle \frac{(x-2)^{2}}{16/3}+\frac{(y+2)^{2}}{12}=1; semi-eixos \displaystyle a=2\sqrt{3} (eixo vertical) e \displaystyle b=\frac{4}{\sqrt{3}} (eixo horizontal).

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