Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para classificar a cônica (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola). Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que precisamos entregar: o tipo da cônica e, idealmente, sua forma canônica / centro / semi-eixos para ficar bem claro como reconhecer esse tipo na prova.
Passo 2
Critério rápido de classificação usando o discriminante da cônica (fórmula padrão): para uma cônica geral
define-se o discriminante
onde
,
,
são os coeficientes dos termos quadráticos. Interpretação didática do critério:
- Se
e então é uma elipse. - Se
e então é uma circunferência. - Se
então é uma parábola. - Se
então é uma hipérbole.
Agora calculamospara os coeficientes dados:
Como
e
, isso indica que a curva é uma elipse (ainda vamos confirmar e escrever a forma canônica completando quadrados).
Passo 3
Método de completar quadrados (vou mostrar passo a passo e explicar cada coisa) — objetivo: recolher termos em
e em
, completar quadrado em cada grupo e isolar a parte quadrática para obter a forma canônica.
Começamos reagrupando termos em
e em
:
Fatoramos os coeficientes quadráticos em cada grupo:
Agora completamos o quadrado dentro de cada parêntese. Lembrando: para completar o quadrado de
adicionamos e subtraímos
, pois
No caso de
, temos
e
, então
No caso de
, temos
e
, então
Substituindo essas identidades na equação:
Distribuímos os coeficientes:
Somamos as constantes numéricas
, obtendo:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 4
Passamos para a forma canônica dividindo ambos os lados por
:
Simplificando as frações:
Calculamos os denominadores:
Logo a forma canônica é
Interpretação dos parâmetros:
- Centro: os termos
e indicam que o centro é . - Semi-eixos (raios): as quantidades abaixo das parcelas são os quadrados dos semi-eixos. Então
onde
é o semi-eixo maior (escolhemos
como o maior dos dois denominadores). Portanto
Como não há termo
(ou seja,
), os eixos principais da elipse estão alinhados com os eixos coordenados; aqui o eixo maior está na direção vertical (variável
), pois
.
Passo 5
Resumo didático rápido para a prova (como identificar em 2 segundos):
- Calcule
. Se e é elipse; se ainda é círculo. - Se
(sem termo ), os eixos estão alinhados com e . - Para obter centro e semi-eixos, complete quadrados.
Aplicando tudo: temos
,
,
e a forma canônica obtida acima, portanto é uma elipse centrada em
com semi-eixos
(vertical) e
(horizontal).
Resposta
Elipse; centro em
; equação canônica
; semi-eixos
(eixo vertical) e
(eixo horizontal).