Determine o maior conjunto no qual a função é contínua: (justifique sua resposta).
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua (justifique)”. A função dada é
Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma razão de duas expressões em
e . - O numerador é
. - O denominador é
. - Não há mais informações (figura, restrições) no enunciado.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aula rápida): uma função
é contínua num ponto
se
Fatos úteis que facilitam a prova:
- Polinômios em
são contínuos em todo . Isto vale tanto para funções que dependem só de como para as que dependem de e . - Se
e são contínuas em um ponto e não é zero nesse ponto, então a função é contínua nesse ponto (propriedade do quociente).
Vamos aplicar esses fatos à função dada.
Passo 3
Identificação das partes da função:
- O numerador
é um polinômio em , logo é contínuo em todo . - O denominador
é um polinômio em (não depende de ), logo é contínuo em todo (e, por extensão, em todo se o tratarmos como função de que só depende de ).
Pelo fato do quociente, sempre que
a função
será contínua.
Passo 4
Determinar onde o denominador é zero (esses pontos são candidatos a problemas de continuidade porque aí a função não está definida).
Fatorando :
Fatorando
Portanto
exatamente quando
ou
. Ou seja, as linhas verticais
e
são os pontos onde o denominador se anula.
Pelo passo anterior,
é contínua em todo ponto
tal que
e
.
Passo 5
Mostrar que não é possível estender a continuidade nas linhas
e
(ou seja, essas singularidades não são removíveis):
- Avaliando o numerador nas linhas problemáticas: para
temos , que é sempre para todo . Para temos , que também é sempre . - Como o numerador não zera nessas linhas, ao aproximarmos de um ponto
com mantendo fixo, o denominador tende a e o numerador tende a um valor estritamente positivo, portanto o quociente tende a ou dependendo do lado pelo qual se aproxima (o sinal muda com ). Isso significa que a função diverge ao nos aproximarmos da linha ; análogo para . - Como a função não está definida nesses pontos e os limites não são finitos (nem iguais se tomarmos direções diferentes), não há como definir um valor em
ou que torne contínua nesses pontos.
Conclusão: as linhas
e
são discontinuidades essenciais (não removíveis), logo não podem pertencer ao maior conjunto de continuidade.
Passo 6
Juntando tudo:
é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero e não pode ser estendida para ser contínua nas linhas onde o denominador zera. Assim o maior conjunto de continuidade é o conjunto de todos os pares
com
e
.