Determine o maior conjunto no qual a função é contínua: (justifique sua resposta).
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua (justifique)”. A função dada é
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-3x+2}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma razão de duas expressões em x e y.
  • O numerador é x^{2}+y^{2}.
  • O denominador é x^{2}-3x+2.
  • Não há mais informações (figura, restrições) no enunciado.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula rápida): uma função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua num ponto (x_0,y_0) se
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=g(x_0,y_0).
Fatos úteis que facilitam a prova:
  • Polinômios em (x,y) são contínuos em todo \mathbb{R}^2. Isto vale tanto para funções que dependem só de x como para as que dependem de x e y.
  • Se u e v são contínuas em um ponto e v não é zero nesse ponto, então a função \frac{u}{v} é contínua nesse ponto (propriedade do quociente).
Vamos aplicar esses fatos à função dada.

Passo 3

Identificação das partes da função:
  • O numerador u(x,y)=x^{2}+y^{2} é um polinômio em (x,y), logo u é contínuo em todo \mathbb{R}^2.
  • O denominador v(x)=x^{2}-3x+2 é um polinômio em x (não depende de y), logo v é contínuo em todo \mathbb{R} (e, por extensão, em todo \mathbb{R}^2 se o tratarmos como função de (x,y) que só depende de x).
Pelo fato do quociente, sempre que v(x)\neq 0 a função f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x)} será contínua.

Passo 4

Determinar onde o denominador é zero (esses pontos são candidatos a problemas de continuidade porque aí a função não está definida).
Fatorando v:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto v(x)=0 exatamente quando x=1 ou x=2. Ou seja, as linhas verticais \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=1\} e \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=2\} são os pontos onde o denominador se anula.
Pelo passo anterior, f é contínua em todo ponto (x,y) tal que x\neq 1 e x\neq 2.

Passo 5

Mostrar que não é possível estender a continuidade nas linhas x=1 e x=2 (ou seja, essas singularidades não são removíveis):
  • Avaliando o numerador nas linhas problemáticas: para x=1 temos u(1,y)=1+y^{2}, que é sempre >0 para todo y. Para x=2 temos u(2,y)=4+y^{2}, que também é sempre >0.
  • Como o numerador não zera nessas linhas, ao aproximarmos de um ponto (1,y_0) com x\to 1 mantendo y=y_0 fixo, o denominador tende a 0 e o numerador tende a um valor estritamente positivo, portanto o quociente tende a +\infty ou -\infty dependendo do lado pelo qual x se aproxima (o sinal muda com x-1). Isso significa que a função diverge ao nos aproximarmos da linha x=1; análogo para x=2.
  • Como a função não está definida nesses pontos e os limites não são finitos (nem iguais se tomarmos direções diferentes), não há como definir um valor em (1,y) ou (2,y) que torne f contínua nesses pontos.
Conclusão: as linhas x=1 e x=2 são discontinuidades essenciais (não removíveis), logo não podem pertencer ao maior conjunto de continuidade.

Passo 6

Juntando tudo: f é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero e não pode ser estendida para ser contínua nas linhas onde o denominador zera. Assim o maior conjunto de continuidade é o conjunto de todos os pares (x,y) com x\neq 1 e x\neq 2.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 1,\; x\neq 2\}

Exercícios relacionados