Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
x^{2}-y^{2}-4 x+2 y-1=0

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a cônica dada e identifique o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola). A equação fornecida é
x^{2}-y^{2}-4 x+2 y-1=0.
Informações relevantes extraídas diretamente do enunciado:
A=1,\quad B=0,\quad C=-1,\quad D=-4,\quad E=2,\quad F=-1,
onde usei a forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.

Passo 2

Vou usar um critério rápido e muito utilizado para classificar cônicas a partir dos coeficientes: o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
Explicando essa fórmula de forma simples: A é o coeficiente de x^{2}, B é o coeficiente de xy e C é o coeficiente de y^{2}. O sinal de \Delta determina o tipo principal da cônica:
  • \Delta>0 indica hipérbole;
  • \Delta=0 indica parábola;
  • \Delta<0 indica elipse (se ainda for não degenerada) — quando A=C e B=0 é circunferência.
Agora calculo \Delta com os coeficientes dados:
\Delta = 0^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)=4>0.
Como \Delta>0, pela regra acima a cônica é uma hipérbole. Vou agora transformar a equação para a forma canônica para entender melhor sua posição e propriedades (centro, eixos, assimptotas).

Passo 3

Transformação por completar quadrados (passo a passo, sem pular etapas).
Começo agrupando termos em x e em y:
x^{2}-y^{2}-4x+2y-1 = (x^{2}-4x) - (y^{2}-2y) -1.
Agora completo o quadrado para cada grupo:
  • Para x^{2}-4x: a expressão completa é (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4. Então
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
  • Para y^{2}-2y: a expressão completa é (y-1)^{2}=y^{2}-2y+1. Então
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1.
Substituindo essas identidades na equação agrupada:
(x-2)^{2}-4 - \big[(y-1)^{2}-1\big] -1 = 0.
Abrindo parênteses e somando constantes:
(x-2)^{2}-4 - (y-1)^{2} +1 -1 = 0
(x-2)^{2} - (y-1)^{2} -4 = 0.
Isolando a parte quadrática:
(x-2)^{2} - (y-1)^{2} = 4.
Dividindo ambos os lados por 4 para obter a forma padrão da hipérbole:
\frac{(x-2)^{2}}{4} - \frac{(y-1)^{2}}{4} = 1.
Comparando com a forma canônica
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1,
vemos que:
(h,k)=(2,1),\quad a^{2}=4,\quad b^{2}=4\quad\Rightarrow\quad a=b=2.
Interpretação:
  • Centro da hipérbole: (2,1).
  • Como o termo positivo é o de (x-2)^{2}, a hipérbole tem eixo transverso paralelo ao eixo x.
  • Como a=b, os assimptotos têm coeficiente angular \pm \frac{b}{a}=\pm 1, ou seja, são perpendiculares. As equações das assíntotas (passando pelo centro) são:
y-1 = \pm (x-2),
ou explicitamente
y = x-1\quad\text{e}\quad y = -x+3.
Uma hipérbole com assimptotos perpendiculares é chamada de hipérbole retangular (ou equilateral).

Passo 4

Resumindo o que aprendeu aqui (como aplicar na prova):
  • Primeiro identifique A,B,C e calcule \Delta=B^{2}-4AC. Se \Delta>0, é hipérbole; \Delta=0 parábola; \Delta<0 elipse/circunferência.
  • Para confirmar e obter centro/eixos, agrupe termos em x e y e complete quadrados.
  • Reescreva na forma canônica \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 (ou sua versão trocada) para ler h,k,a,b e obter assimptotos e outras propriedades.
Você fez certo em pedir um passo a passo — completar quadrados é a ferramenta-chave aqui. Boa energia: com esse esquema dá pra fazer rápido na prova!

Resposta

Hipérbole

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