Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a cônica dada e identifique o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola). A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas diretamente do enunciado:
onde usei a forma geral
.
Passo 2
Vou usar um critério rápido e muito utilizado para classificar cônicas a partir dos coeficientes: o discriminante
Explicando essa fórmula de forma simples:
é o coeficiente de
,
é o coeficiente de
e
é o coeficiente de
. O sinal de
determina o tipo principal da cônica:
-
indica hipérbole; -
indica parábola; -
indica elipse (se ainda for não degenerada) — quando e é circunferência.
Agora calculo
com os coeficientes dados:
Como
, pela regra acima a cônica é uma hipérbole. Vou agora transformar a equação para a forma canônica para entender melhor sua posição e propriedades (centro, eixos, assimptotas).
Passo 3
Transformação por completar quadrados (passo a passo, sem pular etapas).
Começo agrupando termos em
e em
:
Agora completo o quadrado para cada grupo:
- Para
: a expressão completa é . Então
- Para
: a expressão completa é . Então
Substituindo essas identidades na equação agrupada:
Abrindo parênteses e somando constantes:
Isolando a parte quadrática:
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma padrão da hipérbole:
Comparando com a forma canônica
vemos que:
Interpretação:
- Centro da hipérbole:
. - Como o termo positivo é o de
, a hipérbole tem eixo transverso paralelo ao eixo . - Como
, os assimptotos têm coeficiente angular , ou seja, são perpendiculares. As equações das assíntotas (passando pelo centro) são:
ou explicitamente
Uma hipérbole com assimptotos perpendiculares é chamada de hipérbole retangular (ou equilateral).
Passo 4
Resumindo o que aprendeu aqui (como aplicar na prova):
- Primeiro identifique
e calcule . Se , é hipérbole; parábola; elipse/circunferência. - Para confirmar e obter centro/eixos, agrupe termos em
e e complete quadrados. - Reescreva na forma canônica
(ou sua versão trocada) para ler e obter assimptotos e outras propriedades.
Você fez certo em pedir um passo a passo — completar quadrados é a ferramenta-chave aqui. Boa energia: com esse esquema dá pra fazer rápido na prova!
Resposta
Hipérbole