Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede que a classifiquemos (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos e os termos lineares em e
e a constante. A tarefa é identificar o tipo de cônica e, se for uma circunferência, encontrar seu centro e raio.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos e os termos lineares em
Passo 2
Estratégia escolhida: completar o quadrado nos termos em
e em
.
Por que escolhi isso? Porque a equação já tem os termos e
e não tem termo misto
; completar o quadrado revela diretamente se a equação é da forma de uma circunferência
, de uma elipse, etc. Completar o quadrado é um método básico e rápido para identificar centro e raio quando a cônica é centrada.
Por que escolhi isso? Porque a equação já tem os termos
Passo 3
Agrupo os termos em
e em
separadamente:
e mantenho a constante
. Vou completar o quadrado para cada grupo.
Passo 4
Lembrete rápido sobre completar o quadrado: para qualquer termo do tipo
, eu posso escrever
Aqui, para
temos
, então
pois
e
.
Para temos
, então
Para
pois
e
.
Passo 5
Substituo as expressões completadas na equação original:
Agora somo as constantes:
. Assim a equação fica
Passo 6
Isolo os quadrados à direita:
Esta é exatamente a forma padrão de uma circunferência com centro
e raio
:
Comparando, temos
,
e
, portanto
.
Passo 7
Conclusão e checagem: os coeficientes de
e
são iguais e não há termo
, e a forma reduzida é soma de dois quadrados igual a uma constante positiva, o que confirma que a cônica é uma circunferência com centro e raio reais.
Resposta
Circunferência com centro
e raio