Classifique as cônicas abaixo, identificando o tipo (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola):
x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+9=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+9=0
e pede que a classifiquemos (circunferência, elipse, hipérbole ou parábola).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos e os termos lineares em x e y e a constante. A tarefa é identificar o tipo de cônica e, se for uma circunferência, encontrar seu centro e raio.

Passo 2

Estratégia escolhida: completar o quadrado nos termos em x e em y.
Por que escolhi isso? Porque a equação já tem os termos x^{2} e y^{2} e não tem termo misto xy; completar o quadrado revela diretamente se a equação é da forma de uma circunferência (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, de uma elipse, etc. Completar o quadrado é um método básico e rápido para identificar centro e raio quando a cônica é centrada.

Passo 3

Agrupo os termos em x e em y separadamente:
x^{2}-4x \quad\text{e}\quad y^{2}+6y
e mantenho a constante +9. Vou completar o quadrado para cada grupo.

Passo 4

Lembrete rápido sobre completar o quadrado: para qualquer termo do tipo x^{2}+bx, eu posso escrever
x^{2}+bx=(x+\tfrac{b}{2})^{2}-\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui, para x^{2}-4x temos b=-4, então
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,
pois \tfrac{b}{2}=\tfrac{-4}{2}=-2 e (-2)^{2}=4.
Para y^{2}+6y temos b=6, então
y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9,
pois \tfrac{b}{2}=3 e 3^{2}=9.

Passo 5

Substituo as expressões completadas na equação original:
(x-2)^{2}-4 \;+\; (y+3)^{2}-9 \;+\; 9 = 0.
Agora somo as constantes: -4-9+9=-4. Assim a equação fica
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}-4=0.

Passo 6

Isolo os quadrados à direita:
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4.
Esta é exatamente a forma padrão de uma circunferência com centro (h,k) e raio r:
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.
Comparando, temos h=2, k=-3 e r^{2}=4, portanto r=2.

Passo 7

Conclusão e checagem: os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais e não há termo xy, e a forma reduzida é soma de dois quadrados igual a uma constante positiva, o que confirma que a cônica é uma circunferência com centro e raio reais.

Resposta

Circunferência com centro (2,-3) e raio 2

Exercícios relacionados