Classifique as curvas dadas como Retas, hiperboles, parábolas, elipses ou circunferências. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos eixos da curva.
x^2+2 x y+y^2-2 x+4 y+1=0

Passo 1

O enunciado dá a curva de segundo grau
x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0
e pede: classificar (reta, parábola, elipse, hipérbole ou circunferência), escrever a forma canônica e indicar a direção dos eixos. Aqui temos conica geral com termo misto xy.

Passo 2

Calculamos o discriminante De<a = B^2-4AC para a equação
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
aqui A=1, B=2, C=1, logo
De<a = 2^2-4cdot1cdot1 =4-4=0
Como De<a=0, trata-se de uma parábola. Para pôr em forma canônica, eliminamos o termo xy por rotação de eixos.

Passo 3

Escolhemos o ângulo de rotação theta tal que
tan(2theta)=BA-C=21-1=infty Longrightarrow 2theta=pi2 Longrightarrow theta=pi4
Definimos os novos eixos (X,Y) por
X = xcostheta + ysintheta = x+yraiz2, Y = -,xsintheta + ycostheta = -x+yraiz2

Passo 4

Em função de (X,Y) mostra-se (ou pode-se conferir por substituição) que a equação vira
2X^2 + raiz2,X + 3raiz2,Y +1 = 0
Isolando Y e completando quadrado em X, obtemos
Y + raiz28 = -,23raiz2,l(X + tfracraiz24r)^2
Para escrever no formato padrão de parábola, definimos
X' = X + raiz24, Y' = Y + raiz28,
ficando
X'^2 = -,3raiz22;Y'
Em forma X'^2= -4p,Y' vemos que
4p = 3raiz22 Longrightarrow p = 3raiz28

Passo 5

Resumindo:
É uma parábola.
Forma canônica nos eixos rotacionados (X',Y'):
X'^2= -,4p,Y', p = 3raiz28
O vértice em (X,Y) é l(-tfracraiz24,-tfracraiz28r).
Voltando a (x,y), o vértice é
l(xv,yvr) =l(-tfrac18,-tfrac38r)

Passo 6

O eixo de simetria é a reta que em (x,y) passa por l(-tfrac18,-tfrac38r) e tem direção do eixo Y dos (X,Y), isto é, direção do vetor (0,1) em (X,Y). Em (x,y) esse vetor corresponde a
(-1,-1),
logo a reta-eixo é
y + tfrac38 = 1,(x + tfrac18) Longrightarrow y = x - tfrac14
A parábola abre no sentido negativo de Y, ou seja, ao longo dessa reta no sentido de (-1,-1) em (x,y).

Resposta

Parábola.
Forma canônica (eixos (X',Y') girados de theta=pi/4):
X'^2 = -,4!l(tfrac3raiz28r),Y'
Vértice em l(-tfrac18,-tfrac38r).
Eixo de simetria: reta y = x - tfrac14, parábola abre no sentido de (-1,-1).

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