Classifique as curvas dadas como Retas, hiperboles, parábolas, elipses ou circunferências. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos eixos da curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva de segundo grau
e pede: classificar (reta, parábola, elipse, hipérbole ou circunferência), escrever a forma canônica e indicar a direção dos eixos. Aqui temos conica geral com termo misto
.
Passo 2
Calculamos o discriminante
para a equação
aqui
,
,
, logo
Como
, trata-se de uma parábola. Para pôr em forma canônica, eliminamos o termo
por rotação de eixos.
Passo 3
Escolhemos o ângulo de rotação
tal que
Definimos os novos eixos
por
Passo 4
Em função de
mostra-se (ou pode-se conferir por substituição) que a equação vira
Isolando
e completando quadrado em
, obtemos
Para escrever no formato padrão de parábola, definimos
ficando
Em forma
vemos que
Passo 5
Resumindo:
É uma parábola.
Forma canônica nos eixos rotacionados :
É uma parábola.
Forma canônica nos eixos rotacionados
O vértice em
é
.
Voltando a , o vértice é
Voltando a
Passo 6
O eixo de simetria é a reta que em
passa por
e tem direção do eixo
dos
, isto é, direção do vetor
em
. Em
esse vetor corresponde a
logo a reta-eixo é
A parábola abre no sentido negativo de
, ou seja, ao longo dessa reta no sentido de
em
.
Resposta
Parábola.
Forma canônica (eixos girados de
):
Forma canônica (eixos
Vértice em
.
Eixo de simetria: reta , parábola abre no sentido de
.
Eixo de simetria: reta