Classifique as curvas dadas como Retas, hiperboles, parábolas, elipses ou circunferências. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos eixos da curva.
2 x^2-5 y^2-7=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva
2x^2-5y^2-7=0
entre retas, parábolas, elipses, circunferências ou hipérboles; escrever sua forma canônica e indicar a direção dos eixos da curva. O conteúdo usado será classificação de cônicas pelo discriminante e redução à forma canônica.

Passo 2

Escrevemos a equação geral como
2x^2-5y^2-7=0Longrightarrow 2x^2-5y^2=7
Aqui A=2, B=0, C=-5. O discriminante das cônicas é
De<a = B^2-4AC = 0^2-4cdot2cdot(-5)=40>0,
portanto trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

Para obter a forma canônica, dividimos ambos os lados por 7:
2x^27-5y^27=1
Reescrevendo cada coeficiente como quadrado de um denominador, temos
x^272-y^275=1 Long<=ftrightarrow l(xraiztfrac72r)^2 -l(yraiztfrac75r)^2=1

Passo 4

Não há termo misto xy, o que indica que os eixos principais da hipérbole são paralelos aos eixos coordenados. Como o sinal positivo está com x^2, o eixo transverso da hipérbole é o eixo x (horizontal) e o eixo conjugado é o eixo y (vertical).

Resposta

Hipérbole
l(xraiztfrac72r)^2 -l(yraiztfrac75r)^2=1
Eixos principais alinhados aos eixos x (transverso) e y (conjugado).

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