Classifique as curvas dadas como Retas, hiperboles, parábolas, elipses ou circunferências. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos eixos da curva.
5 x^2+8 x y+5 y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada por
5x^2+8xy+5y^2=1
como reta, hipérbole, parábola, elipse ou circunferência, transformar na forma canônica e indicar a direção dos eixos principais. Vamos usar o método de rotação de eixos para eliminar o termo misto xy.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2=1:
A=5, B=8, C=5. O discriminante da cônica é
De<a = B^2-4AC = 8^2-4cdot5cdot5 = 64-100 = -36 < 0,
logo trata-se de uma elipse (pois De<a<0 e A e C têm o mesmo sinal).

Passo 3

Para eliminar o termo xy, usamos a rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta) = BA-C = 85-5 = infty
de onde 2theta = tfracpi2 e portanto
theta = pi4

Passo 4

Definimos as novas coordenadas
com (\theta=\pi/4]. Nos novos eixos obtém-se a forma

onde

Passo 5

Assim a equação canônica é
9,u^2 + 1,v^2 = 1 Long<=ftrightarrow u^2tfrac19 + v^21 = 1
Os semi-eixos valem raiztfrac19=tfrac13 no eixo u e 1 no eixo v.

Resposta

Elipse com equação canônica
u^21/9 + v^21 = 1,
obtida por rotação de theta=pi/4.
Os eixos principais são as retas que formam ângulo de 45^circ e -45^circ com o eixo x (linhas y=x e y=-x).

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