Classifique as curvas dadas como Retas, hiperboles, parábolas, elipses ou circunferências. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos eixos da curva.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a cônica dada por
como reta, hipérbole, parábola, elipse ou circunferência, transformar na forma canônica e indicar a direção dos eixos principais. Vamos usar o método de rotação de eixos para eliminar o termo misto
.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma geral
:
,
,
. O discriminante da cônica é
logo trata-se de uma elipse (pois
e
e
têm o mesmo sinal).
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos a rotação de eixos de ângulo
tal que
de onde
e portanto
Passo 4
Definimos as novas coordenadas
com (\theta=\pi/4]. Nos novos eixos obtém-se a forma
onde
onde
Passo 5
Assim a equação canônica é
Os semi-eixos valem
no eixo
e
no eixo
.
Resposta
Elipse com equação canônica
obtida por rotação de
.
Os eixos principais são as retas que formam ângulo de e
com o eixo
(linhas
e
).
Os eixos principais são as retas que formam ângulo de