Calcule os gradientes das funções:
;
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis,
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o cálculo de gradientes. Para resolver, precisamos saber como calcular derivadas parciais em relação a
e a
, além de entender como aplicar regras de derivação como a da cadeia e a do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência de
:
Isso nos ajuda a aplicar a regra do poder mais facilmente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Aplicamos a regra do poder: se
, então
.
Aqui,
e
.
Então,
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular agora a derivada parcial de
em relação a
.
Usando a mesma regra do poder,
Então,
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, o gradiente da função
é o vetor das derivadas parciais que calculamos:
Resposta
O gradiente da função é