Calcule os gradientes das funções:
f(x, y)=1raiz[3]x^3 y^2;

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis, . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o cálculo de gradientes. Para resolver, precisamos saber como calcular derivadas parciais em relação a e a , além de entender como aplicar regras de derivação como a da cadeia e a do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência de f(x, y) = 1(x^3 y^2)^1/3 = (x^3 y^2)^-1/3 :
Isso nos ajuda a aplicar a regra do poder mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = -13 (x^3 y^2)^-4/3 cdot 3x^2 y^2 em relação a partial fpartial x = -x^2 y^2 (x^3 y^2)^-4/3 .
Aplicamos a regra do poder: se , então .
Aqui, e .
Então,
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular agora a derivada parcial de partial fpartial y = -13 (x^3 y^2)^-4/3 cdot 2x^3 y em relação a partial fpartial y = -23 x^3 y (x^3 y^2)^-4/3 .
Usando a mesma regra do poder,
e .
Então,
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, o gradiente da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = ( -x^2 y^2 (x^3 y^2)^-4/3, -23 x^3 y (x^3 y^2)^-4/3 ) é o vetor das derivadas parciais que calculamos:

Resposta

O gradiente da função é
nabla f(x, y) = ( -x^2 y^2 (x^3 y^2)^-4/3, -23 x^3 y (x^3 y^2)^-4/3 )

Exercícios relacionados