Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo: \left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3 \\\ x+7 y-7 z & =5\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações e três incógnitas e pede para classificar o sistema e determinar seu conjunto solução. As informações fornecidas são os três equivalentes que seguem:
Queremos: (1) classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e (2) encontrar o conjunto solução (se existir).]
Passo 2
Escolhi usar eliminação por linhas (método das operações elementares sobre a matriz aumentada) porque é um método direto e bem mecânico: transforma o sistema em uma forma equivalente mais simples, permitindo ver se há solução e, se houver, encontrá‑la. Antes de operar, explico o que vamos fazer:
\text{Matriz aumentada }[A|b]\text{ do sistema é a matriz cujas linhas representam as equações e a coluna à direita é o termo independente.}éçõàé
Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto solução): trocar duas linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar à uma linha um múltiplo de outra linha. Usando essas operações vamos triangularizar a matriz (eliminar abaixo dos pivôs) para detectar contradições ou resolver por substituição.
Interpreto a última linha [0\;0\;0\mid 11]: ela representa a equação
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=11,
ou seja, 0=11. Isso é uma contradição impossível; não existe nenhuma tupla (x,y,z) que satisfaça essa equação. Como a matriz foi obtida por operações equivalentes ao sistema original, essa contradição significa que o sistema original não tem solução. Em linguagem padrão: o sistema é incompatível (outro termo: sistema sem solução).
Resposta
Sistema incompatível (sem solução). \text{Conjunto solução}=\varnothingçã