Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3 \\\ x+7 y-7 z & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações e três incógnitas e pede para classificar o sistema e determinar seu conjunto solução. As informações fornecidas são os três equivalentes que seguem:
\begin{cases} x+y+z=4,\\[4pt] 2x+5y-2z=3,\\[4pt] x+7y-7z=5. \end{cases}
Queremos: (1) classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e (2) encontrar o conjunto solução (se existir).]

Passo 2

Escolhi usar eliminação por linhas (método das operações elementares sobre a matriz aumentada) porque é um método direto e bem mecânico: transforma o sistema em uma forma equivalente mais simples, permitindo ver se há solução e, se houver, encontrá‑la. Antes de operar, explico o que vamos fazer:
\text{Matriz aumentada }[A|b]\text{ do sistema é a matriz cujas linhas representam as equações e a coluna à direita é o termo independente.}éçõàé
Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto solução): trocar duas linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar à uma linha um múltiplo de outra linha. Usando essas operações vamos triangularizar a matriz (eliminar abaixo dos pivôs) para detectar contradições ou resolver por substituição.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 5 & -2 & 3\\[4pt] 1 & 7 & -7 & 5 \end{array}\right]
Agora vou eliminar as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna). Faço as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculo entrada a entrada:
Para R_2-2R_1:
2-2\cdot1=0,\quad 5-2\cdot1=3,\quad -2-2\cdot1=-4,\quad 3-2\cdot4=3-8=-5.
Para R_3-R_1:
1-1=0,\quad 7-1=6,\quad -7-1=-8,\quad 5-4=1.
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -5\\[4pt] 0 & 6 & -8 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora uso o pivot da segunda linha, segunda coluna (que é 3) para eliminar a entrada 6 em R_3. Faço a operação:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculo cada componente de R_3-2R_2:
0-2\cdot0=0,\quad 6-2\cdot3=6-6=0,\quad -8-2\cdot(-4)=-8+8=0,\quad 1-2\cdot(-5)=1+10=11.
Portanto a terceira linha fica [0\;0\;0\mid 11], e a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 11 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpreto a última linha [0\;0\;0\mid 11]: ela representa a equação
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=11,
ou seja, 0=11. Isso é uma contradição impossível; não existe nenhuma tupla (x,y,z) que satisfaça essa equação. Como a matriz foi obtida por operações equivalentes ao sistema original, essa contradição significa que o sistema original não tem solução. Em linguagem padrão: o sistema é incompatível (outro termo: sistema sem solução).

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).
\text{Conjunto solução}=\varnothingçã

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