Informações dadas no enunciado / tabela: a tabela contém os quocientes e restos da aplicação do algoritmo de Euclides aos números 101 e 43. Eu usei explicitamente esses dados da tabela: os quocientes sucessivos são 2,2,1,6,2 e os restos sucessivos são 101,43,15,13,2,1,0. A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para achar o inverso de \overline{43} em \mathbb{Z}_{101} usamos o algoritmo de Euclides estendido. A ideia é encontrar inteiros s,t tais que
43s+101t=\gcd(43,101).
Como 101 é primo e 43 não é múltiplo de 101, temos \gcd(43,101)=1. Portanto, se acharmos s,t com
43s+101t=1,
então 43s\equiv 1\pmod{101} e s (reduzido módulo 101) é o inverso multiplicativo procurado. O algoritmo de Euclides estendido faz isso executando divisões sucessivas e depois substituições (retro-substituição) para expressar 1 como combinação linear.
Passo 3
Aplicando o algoritmo de Euclides (usei os quocientes e restos fornecidos na tabela), temos as divisões sucessivas:
101=43\cdot 2 + 15,
43=15\cdot 2 + 13,
15=13\cdot 1 + 2,
13=2\cdot 6 + 1,
2=1\cdot 2 + 0.
Cada linha significa que o resto da divisão anterior foi expressado; a última linha não tem resto diferente de zero, então o último resto não-nulo é 1, confirmando \gcd(43,101)=1.
Passo 4
Agora fazemos a retro-substituição para escrever 1 como combinação linear de 43 e 101. Começamos pela penúltima igualdade:
1=13-2\cdot 6.
Substituímos 2 pela expressão da terceira igualdade 2=15-13\cdot 1:
Interpretação do resultado: obtivemos inteiros s=47 e t=-20 tais que
43\cdot 47 + 101\cdot(-20)=1.
Isso implica
43\cdot 47 \equiv 1 \pmod{101},
ou seja, 47 é um inverso de 43 módulo 101. Para checar numericamente (sem calculadora, raciocínio simples): 43\cdot 47=43\cdot(50-3)=2150-129=2021. E 101\cdot 20=2020, portanto 2021-2020=1, confirmando que o resto é 1. Como queremos a classe em \mathbb{Z}_{101}, tomamos 47 reduzido módulo 101, que é \overline{47}.