Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo: \left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\) e duas equações e pede para classificar o sistema e determinar o conjunto solução. As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} x+y+z=4,\\[4pt] 2x+5y-2z=3. \end{cases}
Informações relevantes: são 3\] incógnitas \(x,y,z e 2 equações. A pergunta é: qual a classificação do sistema (inconsistente / compatível determinado / compatível indeterminado) e qual é o conjunto solução.]
Passo 2
Breve explicação do critério de classificação (nada técnico demais):
Formamos a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada (coeficientes com o termo independente).
Se o posto (rank) da matriz dos coeficientes for diferente do posto da matriz aumentada, o sistema é inconsistente (sem solução).
Se os dois postos forem iguais e igual ao número de incógnitas, há solução única (compatível determinado).
Se os dois postos forem iguais e menores que o número de incógnitas, há infinitas soluções (compatível indeterminado), com n-r parâmetros livres (onde n é o número de incógnitas e r o posto).
Aqui temos menos equações que incógnitas (2<3), então é plausível esperar infinitas soluções; vamos confirmar calculando o posto por eliminação e encontrando as soluções paramétricas.
Passo 3
Vou usar substituição simples (fácil aqui): da primeira equação isolamos x: