Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\) e duas equações e pede para classificar o sistema e determinar o conjunto solução. As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x+y+z=4,\\[4pt] 2x+5y-2z=3. \end{cases}
Informações relevantes: são 3\] incógnitas \(x,y,z e 2 equações. A pergunta é: qual a classificação do sistema (inconsistente / compatível determinado / compatível indeterminado) e qual é o conjunto solução.]

Passo 2

Breve explicação do critério de classificação (nada técnico demais):
  • Formamos a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada (coeficientes com o termo independente).
  • Se o posto (rank) da matriz dos coeficientes for diferente do posto da matriz aumentada, o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Se os dois postos forem iguais e igual ao número de incógnitas, há solução única (compatível determinado).
  • Se os dois postos forem iguais e menores que o número de incógnitas, há infinitas soluções (compatível indeterminado), com n-r parâmetros livres (onde n é o número de incógnitas e r o posto).
Aqui temos menos equações que incógnitas ( 2<3), então é plausível esperar infinitas soluções; vamos confirmar calculando o posto por eliminação e encontrando as soluções paramétricas.

Passo 3

Vou usar substituição simples (fácil aqui): da primeira equação isolamos x:
x=4-y-z.
Agora substituímos esse x na segunda equação:
2x+5y-2z=3\quad\Longrightarrow\quad 2(4-y-z)+5y-2z=3.
Desenvolvendo os parênteses:
8-2y-2z+5y-2z=3.

Passo 4

Agrupando termos semelhantes na equação acima:
8 + ( -2y+5y ) + ( -2z-2z ) = 3,
portanto
8 + 3y -4z = 3.
Isolando y:
3y -4z = 3-8 = -5,
y = \frac{4z-5}{3}.
Aqui temos y expresso em função de z. Note que z ainda é livre (um parâmetro).

Passo 5

Agora voltamos para x=4-y-z e substituímos y=\dfrac{4z-5}{3}:
x = 4 - \frac{4z-5}{3} - z.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 3:
x = \frac{12}{3} - \frac{4z-5}{3} - \frac{3z}{3} = \frac{12 - (4z-5) - 3z}{3}.
Simplificando o numerador:
12 - (4z-5) - 3z = 12 -4z +5 -3z = 17 -7z.
Logo
x = \frac{17-7z}{3}.

Passo 6

Introduzimos um parâmetro para z. Seja t\in\mathbb{R} e definimos z=t. Então
y=\frac{4t-5}{3},\qquad x=\frac{17-7t}{3},\qquad z=t.
Podemos escrever o conjunto solução em forma paramétrica:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=\tfrac{17-7t}{3},\; y=\tfrac{4t-5}{3},\; z=t,\; t\in\mathbb{R}\}.
Ou em forma vetorial mais compacta:
\left\{ \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17/3\\\ -5/3\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-7/3\\\ 4/3\\\ 1\end{pmatrix},\; t\in\mathbb{R}\right\}.

Passo 7

Verificação rápida com um valor de t: se t=0 então (x,y,z)=(17/3,\,-5/3,\,0). Conferindo na primeira equação:
x+y+z=\frac{17}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)+0=\frac{12}{3}=4,
na segunda:
2x+5y-2z=2\cdot\frac{17}{3}+5\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)-0=\frac{34-25}{3}=\frac{9}{3}=3.
Está correto. Assim o sistema é compatível e tem infinitas soluções (uma família de reta em \mathbb{R}^3).

Resposta

Sistema compatível indeterminado.
\{(x,y,z)\mid x=\tfrac{17-7t}{3},\; y=\tfrac{4t-5}{3},\; z=t,\; t\in\mathbb{R}\}.

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