Classifique a EDO quanto a ordem, o grau e a linearidade.
x(y^prime prime)^3+(y^prime)^4-y=0

Passo 1

Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é classificar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) em três aspectos: ordem, grau e linearidade. A equação que vamos analisar é:
x(y'')^3 + (y')^4 - y = 0
Para resolver isso, vamos entender cada um desses conceitos e aplicar na prática.

Passo 2

Ordem da EDO
A ordem de uma EDO é determinada pelo maior derivado presente na equação. Olhando para a nossa equação:
  • $ y’ $ é a primeira derivada.
  • $ y’’ $ é a segunda derivada.
O maior derivado aqui é $ y’’ $, que é de segunda ordem.

Passo 3

Grau da EDO
O grau de uma EDO é o expoente da maior derivada quando a equação está escrita de forma polinomial em relação a essa derivada. Na nossa equação:
  • $ \left(y’’\right)^3 $ indica que a segunda derivada está elevada ao cubo.
  • $ \left(y’\right)^4 $ mostra a primeira derivada elevada à quarta potência.
O maior expoente aplicado à derivada de maior ordem ($ y’’ $) é 3.

Passo 4

Linearidade da EDO
Uma EDO é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as potências das soluções e suas derivadas sejam de primeiro grau (ou seja, sem potências ou produtos entre elas). Observando nossa equação:
  • Temos $ \left(y’’\right)^3 $ e $ \left(y’\right)^4 $, que são potências das derivadas.
  • Além disso, há um termo $ -y $, que é linear.
Por causa das potências das derivadas, a equação não é linear.

Resposta

A EDO $ x\left(y’’\right)^3 + \left(y’\right)^4 - y = 0 $ é de segunda ordem, grau 3 e não linear.

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