Classifique as EDO’s de 1^{a} ordem e justifique.
\left(3 x^{2}+2 y\right)+(2 x+2 y) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial de primeira ordem e justificar a classificação. A equação dada é
\left(3 x^{2}+2 y\right)+(2 x+2 y) y^{\prime}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
  • Os coeficientes M e N são funções explícitas de x e y.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 e identificar M e N:
M(x,y)=3 x^{2}+2 y,\qquad N(x,y)=2 x+2 y.
Vou usar essas funções para testar tipos comuns de EDO de 1ª ordem (exata, separável, linear, homogênea, etc.).

Passo 3

Teste de exatidão (explicação didática):
  • Uma equação M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 é exata se existir uma função potencial \Psi(x,y) tal que \frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
  • Um teste prático e simples para exatidão é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem: \frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3 x^{2}+2 y)=2,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2 x+2 y)=2.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2, a equação é exata. (Breve intuição: as taxas de variação cruzadas batem, então existe uma função \Psi cuja diferencial total é zero ao longo das soluções.)

Passo 4

Verificação rápida de outras classificações (para justificar por exclusão e aprendizado):
  • Separável? Para ser separável, deveríamos poder escrever y' = g(x)\,h(y). Aqui y'=-\frac{3 x^{2}+2 y}{2(x+y)}não é do tipo produto g(x)h(y) (há mistura x e y em soma no denominador). Logo, não é separável.
  • Linear em y? Uma EDO linear tem a forma y'+P(x)y=Q(x) com P,Q funções de x somente. Aqui o coeficiente que multiplica y' é 2x+2y (depende de y), e o lado direito não pode ser colocado como A(x)y+B(x) sem gerar termos em y^{2}. Portanto, não é linear.
  • Homogênea (grau zero usando y=vx)? Fazendo y=vx obteríamos uma expressão que ainda depende de x de forma não cancelada, então não é homogênea no sentido usual.
Conclui-se que a classificação correta e natural é: equação exata.

Passo 5

Resolver a equação por ser exata (para ver concretamente a consequência da exatidão) — método passo a passo e didático:
  • Procuramos \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N.
  • Integramos M em relação a x (tratando y como constante): \Psi(x,y)=\int (3 x^{2}+2 y)\,dx = x^{3}+2xy + h(y),onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora impomos \Psi_y=N. Calcule \Psi_y: \Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+2xy+h(y)\bigr)=2x+h'(y).Igualando a N(x,y)=2x+2y obtemos 2x+h'(y)=2x+2y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y.
  • Integramos h'(y) em y: h(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C.
  • Portanto a função potencial é \Psi(x,y)=x^{3}+2xy+y^{2}.
  • A condição implícita para as soluções é \Psi(x,y)=\text{constante}. Assim a solução geral implícita é x^{3}+2xy+y^{2}=C.

Passo 6

Resumo final do que foi feito (motivação para a prova e como aplicar a técnica na hora):
  • Identifique M e N a partir da forma M+N y'=0.
  • Calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se iguais em uma região, a equação é exata.
  • Para resolver: integre M em x para obter \Psi até uma função h(y); determine h(y) impondo \Psi_y=N.
  • Atenção: sempre verificar domínio onde a condição de exatidão vale (aqui as derivadas são contínuas em todo \mathbb{R}^2, exceto possivelmente onde x+y=0 se for necessário dividir; mas o teste foi feito sem divisão, e a potencial \Psi é válida onde as funções são definidas).

Resposta

Equação exata. Solução implícita: x^{3}+2xy+y^{2}=C.

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