Classifique as EDO’s de
ordem e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial de primeira ordem e justificar a classificação. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita na forma
. - Os coeficientes
e são funções explícitas de e .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
e identificar
e
:
Vou usar essas funções para testar tipos comuns de EDO de 1ª ordem (exata, separável, linear, homogênea, etc.).
Passo 3
Teste de exatidão (explicação didática):
- Uma equação
é exata se existir uma função potencial tal que - Um teste prático e simples para exatidão é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Calculemos:
Como
, a equação é exata. (Breve intuição: as taxas de variação cruzadas batem, então existe uma função
cuja diferencial total é zero ao longo das soluções.)
Passo 4
Verificação rápida de outras classificações (para justificar por exclusão e aprendizado):
- Separável? Para ser separável, deveríamos poder escrever
. Aqui não é do tipo produto (há mistura e em soma no denominador). Logo, não é separável. - Linear em
? Uma EDO linear tem a forma com funções de somente. Aqui o coeficiente que multiplica é (depende de ), e o lado direito não pode ser colocado como sem gerar termos em . Portanto, não é linear. - Homogênea (grau zero usando
)? Fazendo obteríamos uma expressão que ainda depende de de forma não cancelada, então não é homogênea no sentido usual.
Conclui-se que a classificação correta e natural é: equação exata.
Passo 5
Resolver a equação por ser exata (para ver concretamente a consequência da exatidão) — método passo a passo e didático:
- Procuramos
tal que e . - Integramos
em relação a (tratando como constante): onde é uma “constante” de integração que pode depender de . - Agora impomos
. Calcule : Igualando a obtemos - Integramos
em : - Portanto a função potencial é
- A condição implícita para as soluções é
. Assim a solução geral implícita é
Passo 6
Resumo final do que foi feito (motivação para a prova e como aplicar a técnica na hora):
- Identifique
e a partir da forma . - Calcule
e . Se iguais em uma região, a equação é exata. - Para resolver: integre
em para obter até uma função ; determine impondo . - Atenção: sempre verificar domínio onde a condição de exatidão vale (aqui as derivadas são contínuas em todo
, exceto possivelmente onde se for necessário dividir; mas o teste foi feito sem divisão, e a potencial é válida onde as funções são definidas).
Resposta
Equação exata. Solução implícita:
.