2. Dinâmica de População de Malthus (1798):
Considere
, a populaçāo inicial; e
a taxa de crescimento da populaçāo.
(a) Faça um programa computacional para implementar a atualizaçāo populacional dada pela regra:
Rode seu programa e plote em um mesmo gráfico o resultado para os seguintes parâmetros:
e
. Plote em um único gráfico
em funçāo de
para estas configuraçóes de parâmetros. O que acontece se
é muito grande? Discuta.
(b) Mostre que, no limite
, a regra (1) conduz à e.d.o.:
A equaçāo (2) é conhecida por modelo de Malthus.
(c) Resolva analiticamente a e.d.o. (2) e mostre que a soluçāo do modelo de Malthus é
(d) Escreva a soluçāo (3) em termos das grandezas
e
. Qual a vantagem de utilizar estas novas variáveis? Obs.: Veja referencia [4, 3].
(e) Discuta o comportamento para
e
em funçāo da condiçāo inicial.
(f) Considere uma populaçāo de ratos descrita pela soluçāo do modelo Malthusiano (3). Considere uma populaçāo inicial de
indivíduos e uma taxa de crescimento de
indivíduos/mês. Cada rato possui uma massa de 0.2 Kg . Determine:
i. O tempo que a massa total da populaçāo de ratos seria suficiente para se transformar em uma estrela. Obs.: A massa mínima de uma estrela é de 50 vezes a massa de Júpiter (
);
ii. O tempo que a massa promove um colapso gravitacional, i.e. se transforme num buraco negro. Obs.: Massa mínima para gerar um buraco negro é de aproximadamente
.’
(a) Faça um programa computacional para implementar a atualizaçāo populacional dada pela regra:
(b) Mostre que, no limite
(c) Resolva analiticamente a e.d.o. (2) e mostre que a soluçāo do modelo de Malthus é
(e) Discuta o comportamento para
(f) Considere uma populaçāo de ratos descrita pela soluçāo do modelo Malthusiano (3). Considere uma populaçāo inicial de
i. O tempo que a massa total da populaçāo de ratos seria suficiente para se transformar em uma estrela. Obs.: A massa mínima de uma estrela é de 50 vezes a massa de Júpiter (
ii. O tempo que a massa promove um colapso gravitacional, i.e. se transforme num buraco negro. Obs.: Massa mínima para gerar um buraco negro é de aproximadamente
Passo 1
O enunciado pede várias coisas (vou listar claramente cada item e os dados fornecidos):
- Parte (a): Implementar por programa a atualização
com
. Rodar para
,
e três valores de
:
. Plotar em um único gráfico
versus
. Pergunta: o que acontece se
fica muito grande? Discutir.
- Parte (b): Mostrar que, no limite
, a regra discreta conduz à equação diferencial
- Parte (c): Resolver analiticamente a e.d.o.
e mostrar que
- Parte (d): Reescrever a solução em termos de
e e comentar a vantagem. - Parte (e): Discutir comportamento para
e em função da condição inicial. - Parte (f): Com
indivíduos, (unidade: indivíduos por mês), massa por rato . Usando a solução de Malthus:
i. Calcular o tempo até a massa total atingir a massa mínima de uma estrela:.
ii. Calcular o tempo até a massa total atingir a massa mínima para colapso em buraco negro:.
Dados úteis extraídos do enunciado:
-
(varia conforme item; para (a) ; para (f) ). -
(item (a)). -
assume valores na parte (a) e na parte (f). - massa por rato:
. - massas alvo dadas explicitamente em (f).
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Implementação computacional e forma fechada discreta. Vou explicar passo a passo o que o programa faz e por que é equivalente a uma fórmula simples.
- Regra de atualização (dada):
- Isto é uma regra explícita passo a passo (método de Euler explícito) que calcula
no tempo seguinte a partir do valor atual. - Se repetirmos essa atualização
vezes com passo , para tempos discretos , temos a solução exata da iteração:
Explicação do que esse resultado significa: em cada passo multiplicamos por
. Após
passos aplicamos essa multiplicação
vezes, dando a potência.
- Caso específico pedido:
. Então para inteiro
Logo, para
e
obtemos
- Programa (exemplo em Python) que implementa a iteração e plota: (basta copiar e executar em Python com matplotlib; o código gera o gráfico pedido)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N0 = 1.0
dt = 1.0
r_list = [1.0, 2.0, 3.0]
t_max = 10 # tempo máximo (escolha, por exemplo, 0..10 meses)
t_values = np.arange(0, t_max+dt, dt)
plt.figure(figsize=(8,5))
for r in r_list:
N = N0 * (1 + r*dt) ** (t_values/dt) # fórmula discreta exata da iteração
plt.plot(t_values, N, marker='o', label=f"r={r}")
plt.yscale('log') # opcional: escala log para visualizar crescimento rápido
plt.xlabel("t (meses)")
plt.ylabel("N(t)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title("Atualização Malthusiana discreta: N(t+dt)=N(t)+r N(t) dt")
plt.show()
- Observações didáticas sobre o gráfico e comportamento quando
cresce: - Para
e as curvas são respectivamente (porque vale ). - Todas essas funções crescem exponencialmente com
. Para grande o número torna-se enorme muito rapidamente (explosão exponencial). - Em física/biologia isso é claramente irrealista a longo prazo — não há recursos infinitos; o modelo de Malthus ignora fatores como competição e capacidade de suporte.
- Comparação com a solução contínua (ver passos seguintes): a iteração com
produz enquanto a solução contínua é . Para pequenos ou ambas se aproximam; para grande e grande as diferenças podem ser grandes.
- Para
Passo 3
(b) Passo limite
que conduz à e.d.o. Vou mostrar de forma formal e didática.
- Começo com a regra discreta:
- Divida ambos os lados por
:
- Agora reconheça que o membro da esquerda é o quociente diferencial (a diferença por passo). No limite
esse quociente tende à derivada de em :
- Portanto, no limite:
- Comentário didático: a passagem do formato discreto para o contínuo é justamente substituir a diferença finita pela derivada. Esse é o procedimento padrão para derivar uma equação diferencial a partir de uma regra de atualização.
Passo 4
(c) Resolução analítica da e.d.o.
com condição inicial
.
- Técnica: separação de variáveis. Escrevemos:
Aqui a ideia é colocar todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro, para integrar.
- Integramos ambos os lados:
- As integrais conhecidas são
e . Reunindo constantes:
- Exponenciando ambos os lados:
Chame
de constante positiva
. Como
representa população (presumivelmente não negativa), podemos escrever:
- Aplicando condição inicial
:
- Logo a solução é
- Observação didática: essa forma mostra crescimento/decrescimento exponencial contínuo. Para pequenas
, a expressão discreta tende a (essa é a definição limite da exponencial).
Passo 5
(d) Reescrever em variáveis adimensionais e vantagem.
- Definimos
- Substituindo na solução
obtemos
- Vantagens de usar
e : - Não há parâmetros numéricos na equação final:
é “universal”. Qualquer caso com diferentes e colapsa para a mesma curva quando usamos estas variáveis. - Facilita comparação entre sistemas com taxas ou tamanhos diferentes (escala e unidade são eliminadas).
- Em análises e simulações numericamente isto reduz o número de parâmetros e torna o problema mais simples e generalizável.
- Não há parâmetros numéricos na equação final:
Passo 6
(e) Comportamento para
e
, considerando a condição inicial
.
- Caso
: -
cresce exponencialmente sem limite superior quando . - Se
, então para todo e tende a quando . - Se
, permanece (estado trivial). - Interpretação: população explode (crescimento descontrolado), o que é irreal a longo prazo, pois recursos limitados não foram considerados.
-
- Caso
: -
decai exponencialmente para zero quando . - Se
, então (extinção assintótica). - Se
, permanece zero. - Interpretação: taxa negativa representa mortalidade ou perda líquida; população tende a desaparecer.
-
- Comentário sobre
: matematicamente a solução aceita mas populações não são negativas; em modelos reais é obrigatório.
Passo 7
(f) Cálculos numéricos — tempos para atingir massas-alvo. Vou fazer passo a passo para o caso pedido.
- Dados:
-
(indivíduos). -
(unidade: indivíduos por mês). - Massa por rato:
. - Massa total em tempo
:
-
- Objetivo: encontrar
tal que . Portanto:
- Agora aplicamos aos dois alvos:
(i) Massa mínima de estrela:
Cálculo do tempo:
Calcule a razão:
Logaritmo natural:
Usando
e
:
Portanto
Convertendo para anos:
(ii) Massa para colapso em buraco negro:
Cálculo do tempo:
Assim
Em anos:
- Observações finais sobre essas respostas:
- Esses tempos são muito curtos (menos de 2 anos) exatamente por causa da taxa de crescimento enorme
por mês — crescimento exponencial com uma taxa tão alta leva a números astronômicos rapidamente. - Na prática esse cenário é absurdo biologicamente (recursos, espaço, doença impediriam tal crescimento). Aqui é um exercício de extrapolação matemática do modelo de Malthus.
- Esses tempos são muito curtos (menos de 2 anos) exatamente por causa da taxa de crescimento enorme
Resposta
(a) Código fornecido; a iteração discreta com
dá
. Para
e
as curvas são
; todas crescem exponencialmente e, se
é muito grande,
(explosão exponencial), o que é fisicamente irrealista a longo prazo.
(b) .
(c) .
(d) Com e
obtém-se
. Vantagem: equação adimensional universal sem parâmetros.
(e) Para : crescimento exponencial (
se
). Para
: decaimento exponencial (
). Se
permanece zero.
(f.i) Tempo até massa mínima de estrela: meses
anos.
(f.ii) Tempo até massa para colapso em buraco negro: meses
anos.
(b)
(c)
(d) Com
(e) Para
(f.i) Tempo até massa mínima de estrela:
(f.ii) Tempo até massa para colapso em buraco negro: