A equação a seguir é uma EDO de 1^{a} ordem linear:
\frac{d y}{d x}+p(x) y=g(x)
a) Descreva em palavras o método de solução para esse tipo de equação.
b) Faça p(x)=\frac{2}{x} e g(x)=4 x e resolva a EDO.
c) Considere y(1)=2 e resolva o PVI para o problema acima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá.
  • Enunciado geral: a equação diferencial ordinária de 1ª ordem linear
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=g(x)
  • Perguntas:
    (a) Descrever em palavras o método de solução para esse tipo de equação.
    (b) Tomar p(x)=\dfrac{2}{x} e g(x)=4x e resolver a EDO (obter a solução geral).
    (c) Considerar a condição inicial y(1)=2 e resolver o problema de valor inicial (PVI) para a EDO do item (b).
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • A forma da EDO é linear de primeira ordem.
    • No item (b) temos funções explícitas p(x)=\dfrac{2}{x} e g(x)=4x.
    • No item (c) temos a condição inicial dada em x=1, que está dentro do domínio onde x\neq0.

Passo 2

Descrição do método (resposta ao item (a)) — explicação didática passo a passo.
  1. Ideia geral: transformar a equação
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=g(x)
numa forma que seja a derivada de um produto, isto é, algo da forma \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)= alguma função. Se conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada de \mu(x)y, basta integrar ambos os lados e isolarmos y.
  1. O que é \mu(x) (fator integrante): procura-se \mu(x) tal que
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,\frac{dy}{dx}+\mu'(x)\,y
de modo que isso coincida com \mu(x)\big(\frac{dy}{dx}+p(x)y\big). Portanto precisamos que
\mu'(x)=\mu(x)\,p(x).
Isto é uma equação diferencial separável para \mu. Resolvendo-a obtemos
\frac{\mu'}{\mu}=p(x)\quad\Rightarrow\quad \ln|\mu(x)|=\int p(x)\,dx + C_0.
Escolhendo a constante multiplicativa convenientemente, podemos tomar
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right),
que se chama fator integrante.
  1. Uso do fator integrante: multiplicando a EDO original por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)g(x).
Pelo passo anterior o lado esquerdo é a derivada \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). Assim
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)g(x).
  1. Integração e solução geral: integrar ambos os lados em x:
\mu(x)y=\int \mu(x)g(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Finalmente
y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)g(x)\,dx + C\right).
Isto dá a solução geral da EDO linear de primeira ordem.
  1. Observações práticas e domínio:
  • Sempre verificar o domínio de p(x) (e onde \mu(x) é bem definida). Se p tem singularidade em algum ponto (por exemplo p(x)=2/x em x=0), trabalhar em intervalos onde p é contínua (por exemplo x>0 ou x<0).
  • Para o PVI usa-se a condição inicial para determinar C.
  • Por que isso funciona? Porque ao escolher \mu assim forçamos o lado esquerdo a ser a derivada de um produto, e isso transforma a EDO numa integração direta — é muito prático para a prova.

Passo 3

Aplicando o método ao caso concreto (início da solução do item (b)).
Dados:
p(x)=\frac{2}{x},\qquad g(x)=4x.
  1. Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int \frac{2}{x}\,dx=2\int\frac{1}{x}\,dx=2\ln|x|=\ln|x|^{2}.
Logo
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|x|^{2}\big)=|x|^{2}.
Para trabalhar com a condição inicial em x=1 (que é >0) podemos tomar \mu(x)=x^{2} no intervalo x>0. Em geral, para x\neq0, \mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicar a EDO por \mu(x)=x^{2} e integrar (continuação do item (b)).
Multiplicando a equação original por x^{2}:
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}\cdot 4x.
Simplificando:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y = 4x^{3}.
Pelo que vimos, o lado esquerdo é a derivada de x^{2}y:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=4x^{3}.
Integrando ambos os lados em x:
x^{2}y=\int 4x^{3}\,dx + C.
Calcule a integral:
\int 4x^{3}\,dx = 4\cdot \frac{x^{4}}{4}=x^{4}.
Assim
x^{2}y = x^{4} + C.
Isolando y:
y(x)=\frac{x^{4}+C}{x^{2}}=x^{2} + C\,x^{-2}.
Portanto a solução geral da EDO com p(x)=\dfrac{2}{x} e g(x)=4x é
y(x)=x^{2} + \frac{C}{x^{2}},\qquad x\neq0,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Resolver o PVI com y(1)=2 (item (c)).
Usar a solução geral obtida:
y(1)=1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 1 + C.
A condição y(1)=2
1 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C=1.
Substituindo em y(x):
y(x)=x^{2} + \frac{1}{x^{2}},\qquad x\neq0.
Como a condição inicial foi dada em x=1>0, é natural declarar a solução no intervalo que contém 1 (por exemplo para x>0). Se for necessário para x<0, o mesmo C vale, mas toma-se cuidado com o sinal de |x|^2 (aqui deu x^2 de qualquer forma).

Resposta

(a) O método do fator integrante: multiplicar a EDO por \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big) para tornar o lado esquerdo a derivada \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big); integrar e obter a solução geral y(x)=\dfrac{1}{\mu(x)}\big(\int \mu(x)g(x)\,dx + C\big).
(b) y(x)=x^{2}+\dfrac{C}{x^{2}},\quad x\neq0.
(c) Para y(1)=2 obtém-se C=1, logo y(x)=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}},\quad x\neq0.

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