A equação a seguir é uma EDO de
ordem linear:
a) Descreva em palavras o método de solução para esse tipo de equação.
b) Faça
e
e resolva a EDO.
c) Considere
e resolva o PVI para o problema acima.
b) Faça
c) Considere
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá.
- Enunciado geral: a equação diferencial ordinária de 1ª ordem linear
-
Perguntas:
(a) Descrever em palavras o método de solução para esse tipo de equação.
(b) Tomare e resolver a EDO (obter a solução geral).
(c) Considerar a condição iniciale resolver o problema de valor inicial (PVI) para a EDO do item (b). -
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A forma da EDO é linear de primeira ordem.
- No item (b) temos funções explícitas
e . - No item (c) temos a condição inicial dada em
, que está dentro do domínio onde .
Passo 2
Descrição do método (resposta ao item (a)) — explicação didática passo a passo.
- Ideia geral: transformar a equação
numa forma que seja a derivada de um produto, isto é, algo da forma
alguma função. Se conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada de
, basta integrar ambos os lados e isolarmos
.
- O que é
(fator integrante): procura-se tal que
de modo que isso coincida com
. Portanto precisamos que
Isto é uma equação diferencial separável para
. Resolvendo-a obtemos
Escolhendo a constante multiplicativa convenientemente, podemos tomar
que se chama fator integrante.
- Uso do fator integrante: multiplicando a EDO original por
obtemos
Pelo passo anterior o lado esquerdo é a derivada
. Assim
- Integração e solução geral: integrar ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Finalmente
Isto dá a solução geral da EDO linear de primeira ordem.
- Observações práticas e domínio:
- Sempre verificar o domínio de
(e onde é bem definida). Se tem singularidade em algum ponto (por exemplo em ), trabalhar em intervalos onde é contínua (por exemplo ou ). - Para o PVI usa-se a condição inicial para determinar
. - Por que isso funciona? Porque ao escolher
assim forçamos o lado esquerdo a ser a derivada de um produto, e isso transforma a EDO numa integração direta — é muito prático para a prova.
Passo 3
Aplicando o método ao caso concreto (início da solução do item (b)).
Dados:
- Calcular o fator integrante
:
Calcule a integral:
Logo
Para trabalhar com a condição inicial em
(que é
) podemos tomar
no intervalo
. Em geral, para
,
.
Passo 4
Multiplicar a EDO por
e integrar (continuação do item (b)).
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Pelo que vimos, o lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em
:
Calcule a integral:
Assim
Isolando
:
Portanto a solução geral da EDO com
e
é
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Resolver o PVI com
(item (c)).
Usar a solução geral obtida:
A condição
dá
Substituindo em
:
Como a condição inicial foi dada em
, é natural declarar a solução no intervalo que contém
(por exemplo para
). Se for necessário para
, o mesmo
vale, mas toma-se cuidado com o sinal de
(aqui deu
de qualquer forma).
Resposta
(a) O método do fator integrante: multiplicar a EDO por
para tornar o lado esquerdo a derivada
; integrar e obter a solução geral
.
(b)
(c) Para obtém-se
, logo
(b)
(c) Para