Considere a função
. Determine o vetor unitário
para o qual a derivada direcional
é igual a 1.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o vetor unitário
tal que a derivada direcional de
em
seja 1. O conteúdo principal é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar.
Passo 2
Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente de
. Primeiro, escrevemos
de forma clara:
Passo 3
Agora achamos as derivadas parciais. Para
:
Passo 4
E para
:
Passo 5
Avaliamo-las no ponto
:
Passo 6
Então o gradiente em
é
Passo 7
A derivada direcional em direção a
é o produto escalar
. Queremos isso igual a 1 e ainda ter
. Da equação
e
vem
. Portanto encontramos o vetor desejado.
Resposta
(0,1)