Considere a função f(x, y)=y e^-x y^2. Determine o vetor unitário u=(a, b) para o qual a derivada direcional partial fpartial u(2021,0) é igual a 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor unitário u=(a,b) tal que a derivada direcional de f(x,y)=y e^-x y^2 em (2021,0) seja 1. O conteúdo principal é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente de f. Primeiro, escrevemos f de forma clara:
f(x,y)=y e^-x y^2

Passo 3

Agora achamos as derivadas parciais. Para fx:
fx(x,y)=partialpartial xl(y e^-x y^2r) = ycdot(-y^2)e^-x y^2 = -y^3 e^-x y^2

Passo 4

E para fy:
fy(x,y)=partialpartial yl(y e^-x y^2r) = e^-x y^2 + ycdot(-2xy)e^-x y^2 = e^-x y^2(1-2xy^2)

Passo 5

Avaliamo-las no ponto (2021,0):
fx(2021,0) = -0^3 e^-2021cdot0 = 0, fy(2021,0) = e^0(1 - 2cdot2021cdot0^2) = 1

Passo 6

Então o gradiente em (2021,0) é
nabla f(2021,0) = (0,1)

Passo 7

A derivada direcional em direção a u=(a,b) é o produto escalar nabla fcdot u = 0cdot a + 1cdot b = b. Queremos isso igual a 1 e ainda ter a^2+b^2=1. Da equação b=1 e a^2+1^2=1 vem a=0. Portanto encontramos o vetor desejado.

Resposta

(0,1)

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