Considere uma região retangular cujas dimensões aumentam com o tempo (imagine uma área sendo desmatada). Denote por
e
o comprimento e a largura no tempo t , respectivamente. Se num determinado instante
, temos
e
determine a taxa de variação da área da região retangular no instante
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma região retangular cujos lados variam com o tempo: o comprimento é g(t) e a largura é h(t). No instante t₀ conhecemos g(t₀)=105 m, h(t₀)=68 m e as taxas g′(t₀)=0,5 m/s e h′(t₀)=1 m/s. O conteúdo aqui é cálculo de taxas relacionadas e vamos usar a regra do produto para derivadas.
Passo 2
A área da região em função do tempo é dada por
Passo 3
Aplicando a regra do produto para derivadas, temos
Passo 4
Agora, no instante t₀ substituímos os valores conhecidos: g(t₀)=105 m, h(t₀)=68 m, g′(t₀)=0,5 m/s e h′(t₀)=1 m/s. Assim,
Passo 5
Basta calcular: 0,5·68=34 e 105·1=105, logo A’(t₀)=34+105=139.
Resposta
139 m²/s