Considere uma região retangular cujas dimensões aumentam com o tempo (imagine uma área sendo desmatada). Denote por g(t) e h(t) o comprimento e a largura no tempo t , respectivamente. Se num determinado instante t0, temos
g(t0)=105 m e h(t0)=68 m
e
g^prime(t0)=0,5 m / s e h^prime(t0)=1 m / s
determine a taxa de variação da área da região retangular no instante t0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma região retangular cujos lados variam com o tempo: o comprimento é g(t) e a largura é h(t). No instante t₀ conhecemos g(t₀)=105 m, h(t₀)=68 m e as taxas g′(t₀)=0,5 m/s e h′(t₀)=1 m/s. O conteúdo aqui é cálculo de taxas relacionadas e vamos usar a regra do produto para derivadas.

Passo 2

A área da região em função do tempo é dada por
A(t)=g(t)cdot h(t)

Passo 3

Aplicando a regra do produto para derivadas, temos
A'(t)=g'(t)cdot h(t)+g(t)cdot h'(t)

Passo 4

Agora, no instante t₀ substituímos os valores conhecidos: g(t₀)=105 m, h(t₀)=68 m, g′(t₀)=0,5 m/s e h′(t₀)=1 m/s. Assim,
A'(t₀)=0,5cdot68+105cdot1

Passo 5

Basta calcular: 0,5·68=34 e 105·1=105, logo A’(t₀)=34+105=139.

Resposta

139 m²/s

Exercícios relacionados