Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar, resolver e verificar as soluções da equação diferencial
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
onde aqui
Passo 3
O fator integrante
é dado por
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
:
O lado esquerdo é agora a derivada do produto
, pois
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo fica
e no direito usamos a substituição
,
, logo
Passo 6
Igualando e isolando
, temos
Passo 7
Logo, a solução geral da equação é
onde
é a constante de integração.
A solução particular (não homogênea) corresponde a , ou seja,
, e a solução da homogênea é
.
A solução particular (não homogênea) corresponde a
Passo 8
Para verificar, derivamos a solução geral e substituímos na equação original:
e
Somando os dois termos:
confirma-se que satisfaz a equação dada.
Resposta
A equação é de primeira ordem, linear não homogênea, e sua solução geral é