Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}+3 x^{2} y=6 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, resolver e verificar as soluções da equação diferencial
\frac{dy}{dx} + 3x^{2}\,y = 6x^{2}.
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde aqui
P(x) = 3x^{2}, \quad Q(x) = 6x^{2}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 3x^{2}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x):
e^{x^{3}}\frac{dy}{dx} + 3x^{2}e^{x^{3}}\,y = 6x^{2}e^{x^{3}}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y\,e^{x^{3}}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^{3}}\bigr) = e^{x^{3}}\frac{dy}{dx} + y\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}}\bigr) = e^{x^{3}}\frac{dy}{dx} + 3x^{2}e^{x^{3}}\,y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^{3}}\bigr)\,dx = \int 6x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
No lado esquerdo fica
y\,e^{x^{3}},
e no direito usamos a substituição u = x^{3}, du = 3x^{2}dx, logo
\int 6x^{2}e^{x^{3}}\,dx = 6\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = 6\int \frac{1}{3}e^{u}\,du = 2e^{u} + C = 2e^{x^{3}} + C.

Passo 6

Igualando e isolando y, temos
y\,e^{x^{3}} = 2e^{x^{3}} + C \quad\Longrightarrow\quad y = 2 + C\,e^{-x^{3}}.

Passo 7

Logo, a solução geral da equação é
\boxed{y(x) = 2 + C\,e^{-x^{3}},}
onde C é a constante de integração.
A solução particular (não homogênea) corresponde a C=0, ou seja, y_{p}(x)=2, e a solução da homogênea é y_{h}(x)=C\,e^{-x^{3}}.

Passo 8

Para verificar, derivamos a solução geral e substituímos na equação original:
\frac{dy}{dx} = 0 + C\bigl(-3x^{2}\bigr)e^{-x^{3}} = -3x^{2}C\,e^{-x^{3}},
e
3x^{2}y = 3x^{2}\bigl(2 + C\,e^{-x^{3}}\bigr) = 6x^{2} + 3x^{2}C\,e^{-x^{3}}.
Somando os dois termos:
\frac{dy}{dx} + 3x^{2}y = -3x^{2}C\,e^{-x^{3}} + 6x^{2} + 3x^{2}C\,e^{-x^{3}} = 6x^{2},
confirma-se que satisfaz a equação dada.

Resposta

A equação é de primeira ordem, linear não homogênea, e sua solução geral é
y(x) = 2 + C\,e^{-x^{3}}.

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