Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
\frac{\partial^{2} u}{\partial x{2}}+\frac{\partial{2} u}{\partial y^{2}}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
e pede que se classifique a ED quanto a: tipo, ordem e linearidade, e que se indique as variáveis dependente e independentes.
Informações fornecidas:
  • A equação envolve derivadas parciais de u em relação a x e a y.
  • O lado direito da equação é 0.

Passo 2

O que significa “tipo” (ODE versus PDE)?\n
  • Uma equação diferencial ordinária (ODE) tem derivadas em relação a uma única variável independente.
  • Uma equação diferencial parcial (PDE) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
Observando a equação: aparecem os símbolos de derivada parcial \partial e derivadas em relação a x e a y. Logo a equação envolve duas variáveis independentes distintas, portanto é uma equação diferencial parcial (PDE).

Passo 3

Ordem da equação:\n
  • A ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta de derivada da variável dependente que aparece na equação.
Na equação aparecem \dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} e \dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}, que são derivadas de segunda ordem. Não há derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é segunda ordem.

Passo 4

Linearidade da equação (o que é linearidade?):\n
  • Uma equação diferencial é linear em u se u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem produtos entre u e suas derivadas, nem funções não lineares como u^2, \sin(u), etc.).
  • Se a forma for L[u]=g, onde L é um operador linear sobre u, então é linear; se g=0 a equação é homogênea.
Na equação dada cada termo é uma derivada de u multiplicada por um coeficiente constante ( 1). Não há termos como u^2, u\,u_x ou funções não lineares de u. O lado direito é 0. Portanto:
  • A equação é linear.
  • Como o lado direito é 0, ela é homogênea.
  • Além disso, os coeficientes das derivadas são constantes (coeficientes constantes).
Um exemplo de contraste: \dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+u^{2}=0 seria não linear por causa do termo u^{2}.

Passo 5

Classificação adicional para PDEs de segunda ordem em duas variáveis (elíptica, parabólica, hiperbólica):\n
  • Para uma PDE linear de segunda ordem em duas variáveis na forma geral
A\,u_{xx}+2B\,u_{xy}+C\,u_{yy}+\text{(termos de ordem menor)}=0,
define-se o discriminante
\Delta = B^{2}-A C.
  • Se \Delta<0 a equação é elíptica; se \Delta=0 é parabólica; se \Delta>0 é hiperbólica.
Para a equação dada podemos identificar os coeficientes da parte de segunda ordem:
A=1,\quad B=0,\quad C=1.
Calcule o discriminante:
\Delta = B^{2}-A C = 0^{2}-1\cdot1 = -1 < 0.
Portanto a equação é elíptica.
Breve interpretação didática e motivadora: equações elípticas (como essa) costumam modelar estados de equilíbrio ou distribuições suaves (por exemplo, temperatura em equilíbrio, potencial elétrico sem cargas locais). A equação dada é a famosa equação de Laplace; suas soluções são chamadas de funções harmônicas e têm propriedades úteis, como o princípio do máximo e a propriedade do valor médio — coisas que ajudam a controlar o comportamento das soluções sem resolvê-las explicitamente.

Passo 6

Variáveis dependente e independentes:\n
  • A variável dependente é a função desconhecida que está sendo diferenciada: aqui é u.
  • As variáveis independentes são as variáveis em relação às quais se derivou: aqui são x e y.

Passo 7

Resumo consolidado (o que cada termo significa na prática):\n
  • Tipo: porque aparecem derivadas parciais em x e y, é uma PDE.
  • Ordem: a maior ordem de derivada presente é 2, logo é de segunda ordem.
  • Linearidade: os termos aparecem linearmente em u e o lado direito é zero, logo linear homogênea com coeficientes constantes.
  • Classificação específica para segunda ordem em duas variáveis: com A=1, B=0, C=1 tem \Delta=-1<0, portanto elíptica.
  • Variáveis: dependente u; independentes x e y.

Resposta

Tipo: equação diferencial parcial (PDE)
Ordem: segunda ordem
Linearidade: linear e homogênea (coeficientes constantes)
Classificação (elíptica/parabólica/hiperbólica): elíptica
Variável dependente: u
Variáveis independentes: x,\;y

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