Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
\frac{d y}{d x}=\frac{y(2-3 x)}{x(1-3 y)}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y(2-3x)}{x(1-3y)}
O que é pedido:
  • Classificar a equação quanto ao tipo (por exemplo: ordinária ou parcial), à ordem e à linearidade.
  • Indicar qual é a variável dependente e qual é a variável independente.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de y em relação a x com x e y através da expressão acima.

Passo 2

Identificar as variáveis (explicando o porquê).
  • Variável independente: x. Explicação: aparece como o argumento em relação ao qual derivamos; o símbolo \dfrac{dy}{dx} indica variação de y quando x varia.
  • Variável dependente: y. Explicação: y é a função cuja derivada em relação a x aparece; portanto y depende de x.

Passo 3

Determinar a ordem da equação (e explicar o conceito).
  • Definição útil: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada presente.
  • Na equação dada só aparece a derivada primeira \dfrac{dy}{dx} e nenhuma derivada de ordem maior.
  • Conclusão: é uma equação de ordem 1 (primeira ordem).

Passo 4

Verificar se é equação ordinária ou parcial (explicando).
  • Definição: uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a várias variáveis independentes.
  • Aqui temos derivada total \dfrac{dy}{dx} em relação a uma única variável x.
  • Conclusão: é uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 5

Definir linearidade e checar se a equação é linear (passo a passo).
  • Definição de linearidade (para EDO de primeira ordem): uma EDO de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P e Q são funções apenas de x. Linearidade implica que y e \dfrac{dy}{dx} aparecem apenas em termos lineares (sem produtos entre y e \dfrac{dy}{dx}, sem termos como y^2, 1/(1-3y), etc.).
  • Teste direto: a equação dada é
\frac{dy}{dx}=\frac{y(2-3x)}{x(1-3y)}.
Multiplicando ambos os lados por 1-3y obtemos
(1-3y)\frac{dy}{dx}=\frac{y(2-3x)}{x}.
Se expandíssemos o lado esquerdo teríamos \dfrac{dy}{dx}-3y\dfrac{dy}{dx}, que contém o termo y\,\dfrac{dy}{dx} — produto entre y e sua derivada — e também o lado direito tem y multiplicando funções de x. Esses sinais mostram dependência não linear (produto entre y e derivada, racional em y).
  • Conclusão: a equação NÃO é linear; é uma EDO não linear.

Passo 6

Verificar se é separável e demonstrar (importante para resolução prática).
  • Definição: uma EDO de primeira ordem é separável se pode ser escrita na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, ou seja, todos os termos envolvendo y (incluindo dy) ficam de um lado e os que envolvem x (incluindo dx) do outro.
  • Partindo da equação
\frac{dy}{dx}=\frac{y(2-3x)}{x(1-3y)},
multiplicando ambos os lados por \dfrac{1-3y}{y}\,dx (observando as restrições y\neq 0 e x\neq 0 e y\neq \tfrac{1}{3} para evitar divisão por zero) obtemos
\frac{1-3y}{y}\,dy=\frac{2-3x}{x}\,dx.
  • Nota: simplificando a fração do lado esquerdo temos \dfrac{1-3y}{y}= \dfrac{1}{y}-3. No lado direito \dfrac{2-3x}{x}=\dfrac{2}{x}-3.
  • Portanto a equação é separável. Como exemplo de continuação (não pedida, mas útil para entender a natureza): integrando ambos os lados
\int\!\left(\frac{1}{y}-3\right)\,dy=\int\!\left(\frac{2}{x}-3\right)\,dx,
o que leva à solução implícita
\ln|y|-3y=2\ln|x|-3x+C,
onde C é constante de integração. Isso demonstra concretamente a separabilidade.

Passo 7

Resumo das classificações e observações finais (didáticas e práticas).
  • Tipo: equação diferencial ordinária (EDO) porque há derivada em relação a uma única variável x.
  • Ordem: primeira ordem (apenas \dfrac{dy}{dx} aparece).
  • Linearidade: não é linear — é não linear (aparecem termos que impedem escrever na forma linear padrão).
  • Observação adicional útil para a prova: a EDO é separável, o que facilita a resolução por integração (como mostrado), e há restrições de domínio naturais: x\neq 0, y\neq 0, y\neq \tfrac{1}{3} para evitar divisões por zero durante a separação.

Resposta

Tipo: EDO (equação diferencial ordinária).
Ordem: 1 (primeira ordem).
Linearidade: não linear.
Variável independente: x.
Variável dependente: y.

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