Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
\frac{d y}{d x}=\frac{y(2-3 x)}{x(1-3 y)}
\frac{d y}{d x}=\frac{y(2-3 x)}{x(1-3 y)}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que é pedido:
- Classificar a equação quanto ao tipo (por exemplo: ordinária ou parcial), à ordem e à linearidade.
- Indicar qual é a variável dependente e qual é a variável independente.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de
em relação a
com
e
através da expressão acima.
Passo 2
Identificar as variáveis (explicando o porquê).
- Variável independente:
. Explicação: aparece como o argumento em relação ao qual derivamos; o símbolo indica variação de quando varia. - Variável dependente:
. Explicação: é a função cuja derivada em relação a aparece; portanto depende de .
Passo 3
Determinar a ordem da equação (e explicar o conceito).
- Definição útil: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada presente.
- Na equação dada só aparece a derivada primeira
e nenhuma derivada de ordem maior. - Conclusão: é uma equação de ordem
(primeira ordem).
Passo 4
Verificar se é equação ordinária ou parcial (explicando).
- Definição: uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a várias variáveis independentes.
- Aqui temos derivada total
em relação a uma única variável . - Conclusão: é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 5
Definir linearidade e checar se a equação é linear (passo a passo).
- Definição de linearidade (para EDO de primeira ordem): uma EDO de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
onde
e
são funções apenas de
. Linearidade implica que
e
aparecem apenas em termos lineares (sem produtos entre
e
, sem termos como
,
, etc.).
- Teste direto: a equação dada é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Se expandíssemos o lado esquerdo teríamos
, que contém o termo
— produto entre
e sua derivada — e também o lado direito tem
multiplicando funções de
. Esses sinais mostram dependência não linear (produto entre
e derivada, racional em
).
- Conclusão: a equação NÃO é linear; é uma EDO não linear.
Passo 6
Verificar se é separável e demonstrar (importante para resolução prática).
- Definição: uma EDO de primeira ordem é separável se pode ser escrita na forma
, ou seja, todos os termos envolvendo (incluindo ) ficam de um lado e os que envolvem (incluindo ) do outro. - Partindo da equação
multiplicando ambos os lados por
(observando as restrições
e
e
para evitar divisão por zero) obtemos
- Nota: simplificando a fração do lado esquerdo temos
. No lado direito . - Portanto a equação é separável. Como exemplo de continuação (não pedida, mas útil para entender a natureza): integrando ambos os lados
o que leva à solução implícita
onde
é constante de integração. Isso demonstra concretamente a separabilidade.
Passo 7
Resumo das classificações e observações finais (didáticas e práticas).
- Tipo: equação diferencial ordinária (EDO) porque há derivada em relação a uma única variável
. - Ordem: primeira ordem (apenas
aparece). - Linearidade: não é linear — é não linear (aparecem termos que impedem escrever na forma linear padrão).
- Observação adicional útil para a prova: a EDO é separável, o que facilita a resolução por integração (como mostrado), e há restrições de domínio naturais:
, , para evitar divisões por zero durante a separação.
Resposta
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária).
Ordem: (primeira ordem).
Linearidade: não linear.
Variável independente: .
Variável dependente: .
Ordem:
Linearidade: não linear.
Variável independente:
Variável dependente: