Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
5 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+4 \frac{d x}{d t}+9 x=2 \cos (3 t)

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a equação diferencial quanto ao tipo, ordem e linearidade e que se indique as variáveis dependente e independente. A equação dada é
5 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+4 \frac{d x}{d t}+9 x=2 \cos (3 t).
Informações fornecidas:
  • Aparece a função x derivada em relação a t até a segunda ordem.
  • Há constantes 5, 4 e 9 multiplicando as derivadas/ x.
  • O lado direito é 2\cos(3t), uma função explícita de t.

Passo 2

Identificar a variável dependente e a variável independente.
  • A notação \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d^{2}x}{d t^{2}} indica que x é uma função de t. Portanto:
    • Variável dependente: x (ou seja, x(t)).
    • Variável independente: t.
      Explicação didática: a variável dependente é aquela que aparece sendo derivada; a independente é a qual se toma as derivadas. Por exemplo, em \dfrac{dy}{dx} temos y dependente e x independente.

Passo 3

Determinar a ordem da equação diferencial.
  • A ordem de uma ED é a ordem da derivada mais alta que aparece.
  • Na equação aparece \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} (segunda derivada) e não aparece derivada de ordem maior.
  • Portanto a ordem é: segunda ordem (ordem 2).

Passo 4

Determinar se é equação ordinária ou parcial.
  • A equação usa derivadas totais \dfrac{d}{dt}, não derivadas parciais \dfrac{\partial}{\partial t}.
  • Derivadas totais indicam que a função depende de uma única variável independente.
  • Conclusão: é uma equação diferencial ordinária (EDO), não uma equação diferencial parcial (EDP).

Passo 5

Determinar linearidade e homogênea/ não-homogênea; verificar coeficientes.
  • Definição prática de linearidade: uma ED é linear se a dependente x e suas derivadas aparecem apenas em termos de somas de coeficientes (que podem depender de t) multiplicando x ou suas derivadas, sem produtos ou funções não-lineares de x (por ex. x^2, \sin x, x x', etc.).
  • Na equação temos termos 5\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, 4\dfrac{dx}{dt} e 9x: cada um é um coeficiente (aqui constantes) multiplicando uma derivada ou x, e não há termos como (dx/dt)\,x ou x^2.
  • Logo a equação é linear.
  • Homogeneidade: uma ED linear é homogênea se o lado direito for zero. Aqui o lado direito é 2\cos(3t)\neq 0, ou seja existe uma força/termo conhecido dependente de t.
  • Conclusão: é linear e não-homogênea (também se diz “forçada” ou “com termo fonte”).
  • Coeficientes: os coeficientes das derivadas são constantes ( 5,4,9), então é uma EDO linear de coeficientes constantes.

Passo 6

Observação extra (útil para prova): a presença de \cos(3t) no lado direito faz com que a equação seja não-autônoma — isto é, depende explicitamente de t. Em equações autônomas não aparece t explicitamente. Essa observação não era exigida, mas é frequentemente perguntada em classificações.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 2 (segunda ordem).
Linearidade: linear, não-homogênea (EDO linear de coeficientes constantes com termo forçante 2\cos(3t)).
Variável dependente: x.
Variável independente: t.

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