Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
5 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+4 \frac{d x}{d t}+9 x=2 \cos (3 t)
5 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+4 \frac{d x}{d t}+9 x=2 \cos (3 t)
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a equação diferencial quanto ao tipo, ordem e linearidade e que se indique as variáveis dependente e independente. A equação dada é
Informações fornecidas:
- Aparece a função
derivada em relação a até a segunda ordem. - Há constantes
, e multiplicando as derivadas/ . - O lado direito é
, uma função explícita de .
Passo 2
Identificar a variável dependente e a variável independente.
- A notação
e indica que é uma função de . Portanto: - Variável dependente:
(ou seja, ). - Variável independente:
.
Explicação didática: a variável dependente é aquela que aparece sendo derivada; a independente é a qual se toma as derivadas. Por exemplo, emtemos dependente e independente.
- Variável dependente:
Passo 3
Determinar a ordem da equação diferencial.
- A ordem de uma ED é a ordem da derivada mais alta que aparece.
- Na equação aparece
(segunda derivada) e não aparece derivada de ordem maior. - Portanto a ordem é: segunda ordem (ordem
).
Passo 4
Determinar se é equação ordinária ou parcial.
- A equação usa derivadas totais
, não derivadas parciais . - Derivadas totais indicam que a função depende de uma única variável independente.
- Conclusão: é uma equação diferencial ordinária (EDO), não uma equação diferencial parcial (EDP).
Passo 5
Determinar linearidade e homogênea/ não-homogênea; verificar coeficientes.
- Definição prática de linearidade: uma ED é linear se a dependente
e suas derivadas aparecem apenas em termos de somas de coeficientes (que podem depender de ) multiplicando ou suas derivadas, sem produtos ou funções não-lineares de (por ex. , , , etc.). - Na equação temos termos
, e : cada um é um coeficiente (aqui constantes) multiplicando uma derivada ou , e não há termos como ou . - Logo a equação é linear.
- Homogeneidade: uma ED linear é homogênea se o lado direito for zero. Aqui o lado direito é
, ou seja existe uma força/termo conhecido dependente de . - Conclusão: é linear e não-homogênea (também se diz “forçada” ou “com termo fonte”).
- Coeficientes: os coeficientes das derivadas são constantes (
), então é uma EDO linear de coeficientes constantes.
Passo 6
Observação extra (útil para prova): a presença de
no lado direito faz com que a equação seja não-autônoma — isto é, depende explicitamente de
. Em equações autônomas não aparece
explicitamente. Essa observação não era exigida, mas é frequentemente perguntada em classificações.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: (segunda ordem).
Linearidade: linear, não-homogênea (EDO linear de coeficientes constantes com termo forçante ).
Variável dependente: .
Variável independente: .
Ordem:
Linearidade: linear, não-homogênea (EDO linear de coeficientes constantes com termo forçante
Variável dependente:
Variável independente: