Determine se a equação diferencial ordinária é linear ou não linear. Justifique sua resposta.
x^{\prime \prime}-\left(1-\left(\frac{x^{\prime}}{3}\right)^{2}\right) x^{\prime}+x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
x^{\prime\prime}-\left(1-\left(\frac{x^{\prime}}{3}\right)^{2}\right)x^{\prime}+x=0
e pede para determinar se a equação é linear ou não linear, com justificativa. Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x, função de uma variável independente (chame-a de t); as derivadas são x^{\prime}=\dfrac{dx}{dt} e x^{\prime\prime}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
  • A equação envolve x, x^{\prime} e x^{\prime\prime}, e não há aparição explícita da variável independente t (é uma equação autônoma).
  • O objetivo é decidir se a equação é linear ou não e justificar essa decisão.

Passo 2

Definição precisa e regra prática para reconhecer linearidade (aula rápida):
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_{n}(t)\,x^{(n)}+a_{n-1}(t)\,x^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(t)\,x^{\prime}+a_{0}(t)\,x=g(t),
onde a_{k}(t) e g(t) são funções conhecidas que dependem apenas da variável independente t (podem ser constantes), e os x^{(k)} aparecem apenas multiplicados por essas funções a_{k}(t).
  • Em palavras simples: uma equação é linear se for linear na incógnita x e em todas as suas derivadas; isto é, não aparecem produtos entre x (ou suas derivadas), nem funções não lineares de x (como (x')^2, \sin x, x x', etc.). Coeficientes podem depender de t, mas não podem depender de x ou de x', x'', etc.

Passo 3

Reescrever e simplificar o termo suspeito da equação para ver sua forma explícita. A equação dada é
x^{\prime\prime}-\left(1-\left(\frac{x^{\prime}}{3}\right)^{2}\right)x^{\prime}+x=0.
Expandindo o produto no termo do meio:
-\left(1-\left(\frac{x^{\prime}}{3}\right)^{2}\right)x^{\prime} = -x^{\prime} + \left(\frac{x^{\prime}}{3}\right)^{2}x^{\prime}.
Agora escrever a potência:
\left(\frac{x^{\prime}}{3}\right)^{2}x^{\prime} = \frac{(x^{\prime})^{2}}{9}\,x^{\prime} = \frac{(x^{\prime})^{3}}{9}.
Portanto a equação fica
x^{\prime\prime} - x^{\prime} + \frac{(x^{\prime})^{3}}{9} + x = 0,
ou, reorganizando,
x^{\prime\prime} - x^{\prime} + x + \frac{(x^{\prime})^{3}}{9} = 0.

Passo 4

Aplicando a definição: observar que aparece o termo \dfrac{(x^{\prime})^{3}}{9}. Esse termo é uma função não linear de x^{\prime} (é proporcional a (x^{\prime})^{3}), ou seja, a equação contém uma potência das derivadas da incógnita maior que 1. Isso viola a condição necessária para linearidade (os coeficientes dos termos x^{(k)} não podem depender em particular de x ou de x^{\prime}). Logo, pela presença de \dfrac{(x^{\prime})^{3}}{9}, a equação não é linear.

Passo 5

Contraexemplo por superposição (intuição prática): se a equação fosse linear, então para quaisquer duas soluções x_{1}(t) e x_{2}(t) e quaisquer constantes \alpha,\beta a combinação \alpha x_{1}+\beta x_{2} seria também solução (princípio da superposição). A presença do termo (x^{\prime})^{3} impede isso, porque ao substituir x=\alpha x_{1}+\beta x_{2} tem-se (x^{\prime})^{3}=(\alpha x_{1}^{\prime}+\beta x_{2}^{\prime})^{3}, que não se separa linearmente em termos proporcionais a \alpha e \beta. Assim, o princípio da superposição falha; isto é outra forma concreta de ver a não linearidade.

Passo 6

Conclusão: pela presença explícita do termo não linear \dfrac{(x^{\prime})^{3}}{9}, a equação não satisfaz a forma linear em x e suas derivadas. Portanto a equação é não linear.

Resposta

Não linear.

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