Determine se a equação diferencial ordinária é linear ou não linear. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e pede para determinar se a equação é linear ou não linear, com justificativa. Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
, função de uma variável independente (chame-a de ); as derivadas são e . - A equação envolve
, e , e não há aparição explícita da variável independente (é uma equação autônoma). - O objetivo é decidir se a equação é linear ou não e justificar essa decisão.
Passo 2
Definição precisa e regra prática para reconhecer linearidade (aula rápida):
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde
e
são funções conhecidas que dependem apenas da variável independente
(podem ser constantes), e os
aparecem apenas multiplicados por essas funções
.
- Em palavras simples: uma equação é linear se for linear na incógnita
e em todas as suas derivadas; isto é, não aparecem produtos entre (ou suas derivadas), nem funções não lineares de (como , , , etc.). Coeficientes podem depender de , mas não podem depender de ou de , , etc.
Passo 3
Reescrever e simplificar o termo suspeito da equação para ver sua forma explícita. A equação dada é
Expandindo o produto no termo do meio:
Agora escrever a potência:
Portanto a equação fica
ou, reorganizando,
Passo 4
Aplicando a definição: observar que aparece o termo
. Esse termo é uma função não linear de
(é proporcional a
), ou seja, a equação contém uma potência das derivadas da incógnita maior que 1. Isso viola a condição necessária para linearidade (os coeficientes dos termos
não podem depender em particular de
ou de
). Logo, pela presença de
, a equação não é linear.
Passo 5
Contraexemplo por superposição (intuição prática): se a equação fosse linear, então para quaisquer duas soluções
e
e quaisquer constantes
a combinação
seria também solução (princípio da superposição). A presença do termo
impede isso, porque ao substituir
tem-se
, que não se separa linearmente em termos proporcionais a
e
. Assim, o princípio da superposição falha; isto é outra forma concreta de ver a não linearidade.
Passo 6
Conclusão: pela presença explícita do termo não linear
, a equação não satisfaz a forma linear em
e suas derivadas. Portanto a equação é não linear.
Resposta
Não linear.