Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a equação diferencial parcial
. Nosso objetivo é classificar essa equação em relação à sua ordem, determinar se é linear ou não linear e, se for linear, verificar se é homogênea ou não homogênea. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ordem de uma equação diferencial. A ordem é definida pelo maior grau da derivada presente na equação. No caso da nossa equação
, temos a derivada mista
, que é a derivada de segunda ordem do
em relação a
e
.
Passo 3
Então, como a derivada mais alta presente é de segunda ordem, concluímos que a equação é de segunda ordem.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é dita linear se pode ser escrita de forma que
e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Passo 5
Na equação
, a derivada
aparece apenas de primeira potência e não há termos que multipliquem
por
ou qualquer outra derivada. Portanto, a equação é linear.
Passo 6
Por fim, vamos determinar se a equação linear é homogênea ou não homogênea. Uma equação linear é homogênea se todos os termos dependem da função desconhecida
ou de suas derivadas, sem termos constantes ou independentes.
Passo 7
Na nossa equação
, o lado direito é zero, o que significa que não há termos independentes de
. Isso caracteriza uma equação linear homogênea.
Resposta
A equação
é de segunda ordem, linear e homogênea.