Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação que precisamos classificar é uma equação diferencial parcial. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
- Qual a ordem da equação.
- Se a equação é linear ou não linear.
- Se for linear, se ela é homogênea ou não homogênea.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre ordem de equação diferencial, linearidade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é básicamente o maior grau das derivadas que aparecem na equação.
Olha a equação:
Aqui, temos:
-
: derivada de em relação a . -
: terceira derivada de em relação a .
A derivada de maior ordem é
, que é de terceira ordem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, não são multiplicadas entre si nem passadas por funções não lineares.
Vamos analisar cada termo:
-
: está linear. -
: o coeficiente é uma função que depende de e , mas isso não afeta a linearidade. O importante é que está multiplicado por uma função que não depende de . -
: é um termo livre, ou seja, não envolve .
Como
e suas derivadas aparecem de forma linear, a equação é linear.
Passo 4
Já que a equação é linear, vamos ver se ela é homogênea ou não homogênea.
Uma equação linear é homogênea se não houver termos livres (termos que não envolvem a função desconhecida
ou suas derivadas). Se houver, ela é não homogênea.
Na nossa equação, o termo
é um termo livre porque não envolve
. Portanto, a equação é não homogênea.
Resposta
A equação diferencial parcial é de terceira ordem, linear e não homogênea.