Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
u_t = (1 + x^2 + y^2) u_xxx + e^(-5 t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação que precisamos classificar é uma equação diferencial parcial. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
  1. Qual a ordem da equação.
  2. Se a equação é linear ou não linear.
  3. Se for linear, se ela é homogênea ou não homogênea.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre ordem de equação diferencial, linearidade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é básicamente o maior grau das derivadas que aparecem na equação.
Olha a equação:
Aqui, temos:
  • : derivada de em relação a .
  • : terceira derivada de em relação a .
A derivada de maior ordem é , que é de terceira ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, não são multiplicadas entre si nem passadas por funções não lineares.
Vamos analisar cada termo:
  • : está linear.
  • : o coeficiente é uma função que depende de e , mas isso não afeta a linearidade. O importante é que está multiplicado por uma função que não depende de .
  • : é um termo livre, ou seja, não envolve .
Como e suas derivadas aparecem de forma linear, a equação é linear.

Passo 4

Já que a equação é linear, vamos ver se ela é homogênea ou não homogênea.
Uma equação linear é homogênea se não houver termos livres (termos que não envolvem a função desconhecida ou suas derivadas). Se houver, ela é não homogênea.
Na nossa equação, o termo é um termo livre porque não envolve . Portanto, a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial parcial é de terceira ordem, linear e não homogênea.

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