Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a equação diferencial parcial
em relação à sua ordem e verificar se ela é linear ou não. Se for linear, ainda vamos ver se ela é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos precisar entender o que significa ordem de uma equação diferencial, linearidade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial parcial é determinada pelo grau da derivada mais alta presente nela. Na nossa equação, temos as derivadas
(primeira ordem) e
(segunda ordem). A derivada de segunda ordem (
) é a mais alta, então a equação é de segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem apenas de primeira ordem (ou seja, sem multiplicações ou funções não lineares delas). A nossa equação é:
Aqui, todas as derivadas de
aparecem de forma linear (não estão multiplicadas entre si nem são passadas por funções não lineares). Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Como a equação é linear, vamos verificar se ela é homogênea ou não homogênea. Uma equação linear é homogênea se não possui termos que não dependem da função
ou suas derivadas. Na nossa equação, o termo
é um termo independente de
e suas derivadas, o que indica que a equação é não homogênea.
Resposta
A equação diferencial parcial
é de segunda ordem, linear e não homogênea.