Seja
uma constante. Considere a equação
Verifique que
, onde
é uma função derivável, é uma solução da equação (2.1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a função
, onde
é uma função derivável, satisfaz a equação diferencial
. Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais parciais, mais especificamente, à equação da onda ou equação de transporte. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois substituí-las na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Sabemos que
. Aplicando a regra da cadeia:
Onde
representa a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, substituímos na equação dada
:
Resposta
Portanto,
é de fato uma solução da equação
.