Seja c uma constante. Considere a equação
u_t + c u_x = 0 em R^2
Verifique que u(x, t) = f(x - c t), onde f: R -> R é uma função derivável, é uma solução da equação (2.1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a função , onde é uma função derivável, satisfaz a equação diferencial . Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais parciais, mais especificamente, à equação da onda ou equação de transporte. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois substituí-las na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Sabemos que . Aplicando a regra da cadeia:
Onde representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, substituímos na equação dada :

Resposta

Portanto, é de fato uma solução da equação .

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