Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
u_xx * u_yy = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para a gente classificar uma equação diferencial parcial de duas maneiras: primeiro, identificar a ordem da equação, e segundo, dizer se a equação é linear ou não linear. Se for linear, ainda temos que ver se ela é homogênea ou não homogênea. A equação que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa classificação por ordem, linearidade e homogeneidade em equações diferenciais parciais.

Passo 2

Identificando a Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada que aparece na equação. Olhando para a nossa equação:
Aqui, temos duas derivadas parciais: e . Ambas são derivadas de segunda ordem porque estão derivadas duas vezes em relação às variáveis e , respectivamente. Portanto, a maior derivada presente é de segunda ordem.

Passo 3

Verificando se a Equação é Linear ou Não Linear
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não são multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes das funções não devem depender de ou suas derivadas.
Na nossa equação:
Aqui, as derivadas e estão sendo multiplicadas entre si ( ). Isso já quebra a condição de linearidade, porque em uma equação linear, as derivadas não deveriam se multiplicar. Por isso, essa equação é não linear.

Resposta

A equação diferencial parcial é de segunda ordem e não linear.

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