Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para a gente classificar uma equação diferencial parcial de duas maneiras: primeiro, identificar a ordem da equação, e segundo, dizer se a equação é linear ou não linear. Se for linear, ainda temos que ver se ela é homogênea ou não homogênea. A equação que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa classificação por ordem, linearidade e homogeneidade em equações diferenciais parciais.
Passo 2
Identificando a Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada que aparece na equação. Olhando para a nossa equação:
Aqui, temos duas derivadas parciais:
e
. Ambas são derivadas de segunda ordem porque estão derivadas duas vezes em relação às variáveis
e
, respectivamente. Portanto, a maior derivada presente é de segunda ordem.
Passo 3
Verificando se a Equação é Linear ou Não Linear
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não são multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes das funções não devem depender de
ou suas derivadas.
Na nossa equação:
Aqui, as derivadas
e
estão sendo multiplicadas entre si (
). Isso já quebra a condição de linearidade, porque em uma equação linear, as derivadas não deveriam se multiplicar. Por isso, essa equação é não linear.
Resposta
A equação diferencial parcial
é de segunda ordem e não linear.