Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) que é:
O que a gente precisa fazer é classificar essa equação em relação à sua ordem e determinar se ela é linear ou não. Se for linear, ainda vamos identificar se é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e equações diferenciais parciais.
Passo 2
Determinar a Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa EDP:
-
é a primeira derivada de em relação a . -
é a primeira derivada de em relação a .
Não há derivadas de ordem superior, então a ordem da equação é primeira ordem.
Passo 3
Verificar a Linearidade da Equação
Uma equação diferencial é linear se o termo desconhecido (
) e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicados entre si ou passarem por funções não lineares.
Na nossa equação:
-
está multiplicado por 3, que é uma constante. -
está multiplicado por , que é uma função de .
Não há termos como
,
, etc. Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Classificar se a Equação é Homogênea ou Não Homogênea
Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependem apenas da função desconhecida e suas derivadas, sem termos livres (termos que não envolvem a função ou suas derivadas).
Na nossa equação:
O lado direito é igual a zero, e todos os termos do lado esquerdo envolvem a função
ou suas derivadas. Não temos nenhum termo livre. Portanto, a equação é homogênea.
Resposta
A equação diferencial parcial dada é de primeira ordem, linear e homogênea.