Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
3 u_x + sen(x) u_y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) que é:
O que a gente precisa fazer é classificar essa equação em relação à sua ordem e determinar se ela é linear ou não. Se for linear, ainda vamos identificar se é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e equações diferenciais parciais.

Passo 2

Determinar a Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa EDP:
  • u_x é a primeira derivada de u em relação a x.
  • uy é a primeira derivada de u em relação a y.
Não há derivadas de ordem superior, então a ordem da equação é primeira ordem.

Passo 3

Verificar a Linearidade da Equação
Uma equação diferencial é linear se o termo desconhecido ( u) e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicados entre si ou passarem por funções não lineares.
Na nossa equação:
  • u_x está multiplicado por 3, que é uma constante.
  • uy está multiplicado por sen(x), que é uma função de x.
Não há termos como , , etc. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Classificar se a Equação é Homogênea ou Não Homogênea
Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependem apenas da função desconhecida e suas derivadas, sem termos livres (termos que não envolvem a função ou suas derivadas).
Na nossa equação:
O lado direito é igual a zero, e todos os termos do lado esquerdo envolvem a função u ou suas derivadas. Não temos nenhum termo livre. Portanto, a equação é homogênea.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é de primeira ordem, linear e homogênea.

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