Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
u_xx + u_yy zz + u_zz - 2 u_xz + u_x - 2 u_y = u + 15 e^(x+y) cos(z)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial e precisamos classificá-la de duas maneiras: primeiro, determinar a ordem da equação e, segundo, verificar se ela é linear ou não linear. Se for linear, também vamos ver se é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar a ordem e a linearidade de equações diferenciais parciais.

Passo 2

Determinar a ordem da equação:
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Vamos analisar os termos com derivadas na equação dada:
  • é a derivada parcial segunda de em relação a .
  • parece estar tentando representar uma derivada mista, mas a notação correta seria , que é uma derivada parcial de quarta ordem.
  • é a derivada parcial segunda de em relação a .
  • é a derivada parcial segunda mista de em relação a e .
  • e são derivadas parciais de primeira ordem.
A maior derivada presente é a de quarta ordem ( ).

Passo 3

Verificar se a equação é linear ou não linear:
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de primeiro grau e não estão multiplicadas entre si ou por funções que dependem de , ou .
Vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
Observamos que:
  • Todas as derivadas de aparecem de primeiro grau.
  • Não há termos onde ou suas derivadas estão multiplicados entre si.
  • Os coeficientes das derivadas podem depender de , ou (como ), mas isso não afeta a linearidade.
Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Classificar se a equação linear é homogênea ou não homogênea:
Uma equação diferencial linear é homogênea se todos os termos não envolvendo estão igualados a zero. Caso contrário, é não homogênea.
Na nossa equação reescrita:
O lado direito da equação é diferente de zero ( ), o que significa que a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é de quarta ordem, é linear e não homogênea.

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