Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial e precisamos classificá-la de duas maneiras: primeiro, determinar a ordem da equação e, segundo, verificar se ela é linear ou não linear. Se for linear, também vamos ver se é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar a ordem e a linearidade de equações diferenciais parciais.
Passo 2
Determinar a ordem da equação:
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Vamos analisar os termos com derivadas na equação dada:
-
é a derivada parcial segunda de em relação a . -
parece estar tentando representar uma derivada mista, mas a notação correta seria , que é uma derivada parcial de quarta ordem. -
é a derivada parcial segunda de em relação a . -
é a derivada parcial segunda mista de em relação a e . -
e são derivadas parciais de primeira ordem.
A maior derivada presente é a de quarta ordem (
).
Passo 3
Verificar se a equação é linear ou não linear:
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e suas derivadas aparecem apenas de primeiro grau e não estão multiplicadas entre si ou por funções que dependem de
,
ou
.
Vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
Observamos que:
- Todas as derivadas de
aparecem de primeiro grau. - Não há termos onde
ou suas derivadas estão multiplicados entre si. - Os coeficientes das derivadas podem depender de
, ou (como ), mas isso não afeta a linearidade.
Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Classificar se a equação linear é homogênea ou não homogênea:
Uma equação diferencial linear é homogênea se todos os termos não envolvendo
estão igualados a zero. Caso contrário, é não homogênea.
Na nossa equação reescrita:
O lado direito da equação é diferente de zero (
), o que significa que a equação é não homogênea.
Resposta
A equação diferencial parcial dada é de quarta ordem, é linear e não homogênea.