Classifique a equação e obtenha a forma canônica.
Passo 1
O exercício pede para classificar a equação parcial de segunda ordem e depois levá-la à forma canônica. O conteúdo é classificação de PDEs (hiperbólica, elíptica, parabólica) e mudança de variáveis características para simplificar a parte principal.
Passo 2
A parte principal é 4 u_{xx} + 5 u_{xy} + u_{yy}. Para classificar a PDE a gente calcula o discriminante B² − 4AC, onde A=4, B=5, C=1.
O discriminante é
O discriminante é
Passo 3
Como
, a PDE é hiperbólica. Agora a gente busca as curvas características, que vêm da equação
isto é
Passo 4
Dividindo por
e chamando
,
Passo 5
Isso significa que podemos tomar duas variáveis características
Passo 6
Elas são lineares e independentes. Para usar essas variáveis, precisamos achar x e y em função de
:
Passo 7
Agora expressamos derivadas de u em (x,y) pelas derivadas em (\xi,\eta). Primeiro
Passo 8
Passo 9
Em seguida calculamos as segundas derivadas:
Passo 10
Passo 11
Passo 12
Substituindo na PDE original 4u_{xx}+5u_{xy}+u_{yy}+3u_x=2x, a parte principal vira
Passo 13
Também 3u_x = -3u_{\xi} - \tfrac34 u_{\eta} e o lado direito 2x = \tfrac{2}{3}(\eta - 4\xi).
Agora dividimos tudo por -9/4 para deixar o termo principal como u_{\xi\eta}.
Agora dividimos tudo por -9/4 para deixar o termo principal como u_{\xi\eta}.
Resposta
A PDE é hiperbólica e, nas variáveis características
,
, fica