Classifique a equação e obtenha a forma canônica.
4 ux x+5 ux y+uy y+3 ux=2 x

Passo 1

O exercício pede para classificar a equação parcial de segunda ordem e depois levá-la à forma canônica. O conteúdo é classificação de PDEs (hiperbólica, elíptica, parabólica) e mudança de variáveis características para simplificar a parte principal.

Passo 2

A parte principal é 4 u_{xx} + 5 u_{xy} + u_{yy}. Para classificar a PDE a gente calcula o discriminante B² − 4AC, onde A=4, B=5, C=1.
O discriminante é
De 0

Passo 3

Como De 0, a PDE é hiperbólica. Agora a gente busca as curvas características, que vêm da equação
A,(dy)^2 - B,dx,dy + C,(dx)^2 = 0,
isto é
4,(dy)^2 - 5,dx,dy + 1,(dx)^2 = 0

Passo 4

Dividindo por (dx)^2 e chamando p = dy/dx,
4p^2 - 5p + 1 = 0 implies p = 1 ou p = tfrac14

Passo 5

Isso significa que podemos tomar duas variáveis características
xi = y - x, eta = 4y - x

Passo 6

Elas são lineares e independentes. Para usar essas variáveis, precisamos achar x e y em função de xi,eta:
y - x = xi, 4y - x = eta implies x = eta - 4xi3, y = eta - xi3

Passo 7

Agora expressamos derivadas de u em (x,y) pelas derivadas em (\xi,\eta). Primeiro
ux = uxi,xix + ueta,etax = -uxi - tfrac14 ueta,

Passo 8

uy = uxi,xiy + ueta,etay = uxi + ueta

Passo 9

Em seguida calculamos as segundas derivadas:
uxx = uxixi + tfrac12 uxieta + tfrac116uetaeta,

Passo 10

uxy = -uxixi - tfrac54 uxieta - tfrac14 uetaeta,

Passo 11

uyy = uxixi + 2uxieta + uetaeta

Passo 12

Substituindo na PDE original 4u_{xx}+5u_{xy}+u_{yy}+3u_x=2x, a parte principal vira
4uxx+5uxy+uyy = -tfrac94,uxieta

Passo 13

Também 3u_x = -3u_{\xi} - \tfrac34 u_{\eta} e o lado direito 2x = \tfrac{2}{3}(\eta - 4\xi).
Agora dividimos tudo por -9/4 para deixar o termo principal como u_{\xi\eta}.
uxieta + tfrac43uxi + tfrac13ueta = 32xi - 8eta27

Resposta

A PDE é hiperbólica e, nas variáveis características xi=y-x, eta=4y-x, fica
uxieta + tfrac43uxi + tfrac13ueta = 32xi - 8eta27

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