Para toda função contínua
, existem
tais que
para todo
. (Sugestão: se
, por exemplo, não existisse. então, pondo
, a função
seria continua e ilimitada em
.)
Passo 1
Temos uma função contínua f:[a,b]→ℝ e queremos mostrar que ela é limitada e que atinge seu valor máximo e mínimo em [a,b], usando conceitos de supremo, ínfimo e o fato de que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado é limitada.
Passo 2
Primeiro, provamos que f é limitada. Suponha, por absurdo, que f não seja limitada acima. Então existe uma sequência (x_n) em [a,b] tal que f(x_n)>n para todo n. Como [a,b] é compacto, existe uma subsequência (x_{n_k}) que converge para algum c∈[a,b]. Pela continuidade, f(x_{n_k})→f©, ou seja, fica limitada, contradizendo f(x_{n_k})>n_k→∞. Logo f é limitada acima. De modo análogo mostra-se que f é limitada abaixo.
Passo 3
Agora seja α=sup f([a,b]). Se não existisse x₁∈[a,b] com f(x₁)=α, teríamos f(x)<α para todo x, então α−f(x)>0. Definimos a função auxiliar
g é contínua em [a,b] (composição de contínuas) e, por estar em intervalo compacto, deveria ser limitada. Mas α é supremo de f, então para cada M>0 existe x tal que f(x)>α−1/M, o que implica α−f(x)<1/M e
Isto mostra que g é ilimitada, contradição. Logo existe x₁ com f(x₁)=α.
Passo 4
De forma análoga, seja β=inf f([a,b]). Se não existisse x₀ com f(x₀)=β, então f(x)>β e definimos
O mesmo argumento mostra que h seria contínua e ilimitada, contradição. Portanto existe x₀ com f(x₀)=β.
Resposta
Concluímos que existem x₀,x₁∈[a,b] tais que f(x₀)=\min_{[a,b]}f e f(x₁)=\max_{[a,b]}f.