Para toda função contínua f:[a, b] R, existem x0, x1 in[a, b] tais que f(x0) <= f(x) <= f(x1) para todo x in[a, b]. (Sugestão: se x1, por exemplo, não existisse. então, pondo alpha=sup f, a função g(x)=1 /[f(x)-alpha] seria continua e ilimitada em [a, b].)

Passo 1

Temos uma função contínua f:[a,b]→ℝ e queremos mostrar que ela é limitada e que atinge seu valor máximo e mínimo em [a,b], usando conceitos de supremo, ínfimo e o fato de que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado é limitada.

Passo 2

Primeiro, provamos que f é limitada. Suponha, por absurdo, que f não seja limitada acima. Então existe uma sequência (x_n) em [a,b] tal que f(x_n)>n para todo n. Como [a,b] é compacto, existe uma subsequência (x_{n_k}) que converge para algum c∈[a,b]. Pela continuidade, f(x_{n_k})→f©, ou seja, fica limitada, contradizendo f(x_{n_k})>n_k→∞. Logo f é limitada acima. De modo análogo mostra-se que f é limitada abaixo.

Passo 3

Agora seja α=sup f([a,b]). Se não existisse x₁∈[a,b] com f(x₁)=α, teríamos f(x)<α para todo x, então α−f(x)>0. Definimos a função auxiliar
g(x)=1alpha-f(x)
g é contínua em [a,b] (composição de contínuas) e, por estar em intervalo compacto, deveria ser limitada. Mas α é supremo de f, então para cada M>0 existe x tal que f(x)>α−1/M, o que implica α−f(x)<1/M e
g(x)=1alpha-f(x)>M
Isto mostra que g é ilimitada, contradição. Logo existe x₁ com f(x₁)=α.

Passo 4

De forma análoga, seja β=inf f([a,b]). Se não existisse x₀ com f(x₀)=β, então f(x)>β e definimos
h(x)=1f(x)-beta
O mesmo argumento mostra que h seria contínua e ilimitada, contradição. Portanto existe x₀ com f(x₀)=β.

Resposta

Concluímos que existem x₀,x₁∈[a,b] tais que f(x₀)=\min_{[a,b]}f e f(x₁)=\max_{[a,b]}f.

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