Classifique as equações abaixo determinando a ordem e se são lineares ou não-lineares. Caso seja não-linear, justifique sua resposta.
x^{3} y^{(4)}-x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial dada, indicando:
  • a ordem da equação;
  • se a equação é linear ou não-linear.
    A equação fornecida é
x^{3}y^{(4)}-x^{2}y''+4xy'-3y=0.

Passo 2

Para determinar a ordem da equação diferencial, identificamos o maior número de derivadas de y que aparece na equação. Na equação
x^{3}y^{(4)}-x^{2}y''+4xy'-3y=0
aparecem as derivadas y^{(4)}, y'' (que é y^{(2)}), y' (que é y^{(1)}) e y (que é y^{(0)}). A maior é y^{(4)}. Portanto, a ordem da equação é 4.

Passo 3

Para classificar a equação quanto à linearidade, verificamos se ela pode ser escrita na forma geral de uma equação diferencial linear:
a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e g(x) são funções apenas de x, e y e suas derivadas aparecem somente na primeira potência, sem produtos entre si ou dentro de funções não-lineares (como \sin(y), (y')^2, y\cdot y', etc.).
A equação dada é
x^{3}y^{(4)}-x^{2}y''+4xy'-3y=0.
Comparando, identificamos os coeficientes a_4(x)=x^{3}, a_2(x)=-x^{2}, a_1(x)=4x e a_0(x)=-3. Todos esses coeficientes dependem somente de x. Além disso, cada termo envolvendo y ou uma derivada de y aparece apenas na primeira potência e não há produtos entre y e suas derivadas nem funções não-lineares de y.
Concluímos que a equação é linear. Como o lado direito é 0, trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes variáveis.

Resposta

Ordem: 4
Linearidade: linear (linear homogênea com coeficientes dependentes de x).

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