(2,0 pts) Resolva as equações diferenciais a seguinte equação homogênea:
y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}
(Dica: Faça a substituição v=y / x e \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x} x+v )

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y},
que é de primeira ordem e homogênea, pois o quociente do segundo membro é função apenas de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
v=\frac{y}{x}, \qquad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 2

Substituindo y=v x e \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx} na equação original, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{x^{2} + (v x)^{2}}{x\,(v x)} =\frac{x^{2}(1+v^{2})}{v\,x^{2}} =\frac{1+v^{2}}{v}.

Passo 3

Isolando o termo com \frac{dv}{dx},
x\frac{dv}{dx} =\frac{1+v^{2}}{v}-v =\frac{1+v^{2}-v^{2}}{v} =\frac{1}{v}.
Então a equação para v é separável:
v\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int v\,dv =\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{2}=\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que v=y/x, temos
\frac{y^{2}}{x^{2}}=2\ln\lvert x\rvert + C' \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=x^{2}\bigl(2\ln\lvert x\rvert + C'\bigr),
com C'=2C constante arbitrária.

Resposta

y^{2} = x^{2}\Bigl(2\ln\lvert x\rvert + C\Bigr),
ou equivalentemente
y=\pm x\sqrt{2\ln\lvert x\rvert + C}.

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