Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(c) y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
y'' + \bigl(y'\bigr)^{2} = 0
quanto ao tipo (ordinária ou parcial), à ordem e à linearidade.

Passo 2

Para determinar o tipo, observamos que todas as derivadas envolvidas são derivadas de y em relação a uma única variável independente (por exemplo, x). Portanto trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 3

A ordem de uma EDO é dada pelo maior nível de derivada que aparece. Aqui o termo de maior ordem é y'', ou seja, segunda derivada, de modo que a equação é de segunda ordem.

Passo 4

Uma EDO é dita linear se puder ser escrita na forma
a_{2}(x)\,y'' + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = g(x)
sem termos não lineares em y, y' ou y''. Como nesta equação aparece \bigl(y'\bigr)^{2}, há um termo quadrático em y', o que a torna não linear.

Resposta

A equação
y'' + \bigl(y'\bigr)^{2} = 0
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e não linear.

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