Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(e) \frac{\partial u}{\partial t}-k \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, k>0 (Equação do Calor).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
\frac{\partial u}{\partial t} \;-\; k \,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \;=\; 0, \quad k>0,
e pede para classificá-la quanto à ordem, linearidade e tipo. Para isso, vamos lembrar:
– A ordem da EDP é a maior ordem de derivada que aparece.
– A EDP é linear se u e suas derivadas aparecem de forma linear (sem produtos ou funções não lineares de u).
– Para classificar o tipo (elíptica, hiperbólica ou parabólica) de uma EDP de segunda ordem em duas variáveis, usamos o discriminante B^2 - A\,C do termo geral
A\,u_{xx} + 2B\,u_{xt} + C\,u_{tt} + \text{(termos de ordem inferior)} = 0.

Passo 2

Determinação da ordem.
Na equação aparecem derivadas de primeira ordem em t e de segunda ordem em x. A maior ordem é dois, pois há \partial^{2}u/\partial x^{2}.
Portanto, é uma EDP de segunda ordem.

Passo 3

Verificação da linearidade.
Os termos são \partial u/\partial t e \partial^{2}u/\partial x^{2}, ambos multiplicados por constantes ou somados, sem que haja produtos ou funções não lineares de u.
Logo, a equação é linear.

Passo 4

Classificação do tipo.
No padrão
A\,u_{xx} + 2B\,u_{xt} + C\,u_{tt} + \dots = 0
identificamos A = -k, B=0, C=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = B^{2} - A\,C = 0^{2} - (-k)\cdot 0 = 0.
Quando \Delta = 0, dizemos que a EDP é de tipo parabólica.

Resposta

Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear.
Tipo: parabólica.

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