Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função f sujeita à restrição dada.
(e) f(x, y, z)=x y z, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo de
f(x,y,z)=xyz
sujeito à restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
O conteúdo necessário é o método de Lagrange: igualar \nabla f a \lambda \nabla g, onde g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-9.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,\lambda)=xyz \;-\;\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-9\bigr).
As condições de primeiro ordem são
\frac{\partial L}{\partial x}=yz-2\lambda x=0,
\frac{\partial L}{\partial y}=xz-2\lambda y=0,
\frac{\partial L}{\partial z}=xy-2\lambda z=0,
e a própria restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 3

Das três primeiras equações, assumindo x,y,z\neq0, podemos dividir para obter
\frac{yz}{x}=\frac{xz}{y}=\frac{xy}{z}=2\lambda.
Isto implica
y^{2}=x^{2},\quad z^{2}=x^{2},
ou seja,
x^{2}=y^{2}=z^{2}.

Passo 4

Como x^{2}=y^{2}=z^{2}, escrevemos x^{2}=y^{2}=z^{2}=t^{2}. Da restrição segue
3t^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad t^{2}=3\quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{3}.
Logo as soluções críticas têm coordenadas \pm\sqrt{3}. O valor de f é
f(x,y,z)=(\pm\sqrt{3})(\pm\sqrt{3})(\pm\sqrt{3})=\pm3\sqrt{3},
onde o sinal “ +” ocorre quando o produto das três escolhas de sinal é positivo, e “ -” quando é negativo.

Passo 5

Portanto, o valor máximo de f é 3\sqrt{3} e o valor mínimo é -3\sqrt{3}.

Resposta

f_{\max}=3\sqrt{3}, f_{\min}=-3\sqrt{3}.

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