Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(f) \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=v \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad v>0 (Equação de Burgers).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Burgers
\frac{\partial u}{\partial t}+u\,\frac{\partial u}{\partial x} = v\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, \quad v>0,
e pede para classificá-la quanto a tipo, ordem e linearidade. Para isso precisamos reconhecer que é uma equação de derivadas parciais, determinar a maior ordem de derivada, verificar se aparece produto de u com derivadas (linearidade) e usar o critério de classificação de PDEs de segunda ordem.

Passo 2

Trata-se de uma equação de derivadas parciais (PDE), pois envolve derivadas parciais de u(x,t) em relação a t e x. A maior ordem de derivada que aparece é
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
logo é uma PDE de segunda ordem.

Passo 3

Para analisar a linearidade, notamos que há o termo u\,\frac{\partial u}{\partial x}, que é produto de u com sua derivada. Isso quebra a linearidade (pois numa equação linear u e suas derivadas não podem aparecer multiplicados). Contudo, o termo de ordem mais alta \partial^{2}u/\partial x^{2} aparece apenas de forma linear, de modo que a equação é quasilinear.

Passo 4

A forma geral de uma PDE de segunda ordem em (x,t) é
A\,u_{xx}+2B\,u_{xt}+C\,u_{tt}+\dots=0.
Aqui identificamos
A=v>0,\quad B=0,\quad C=0,
logo o discriminante é
B^{2}-A\,C = 0 - v\cdot0 = 0,
o que caracteriza uma equação de tipo parábolico.

Resposta

Tipo: parábolica
Ordem: segunda ordem
Linearidade: não linear (quasilinear)

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