Encontre a solução geral da EDO \frac{d y}{d t}=e^{3 t}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO \displaystyle \frac{dy}{dt} = \mathrm{e}^{3t}.
Trata-se de uma equação de primeira ordem, que podemos resolver por integração direta.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma de diferenciais e integramos ambos os lados:
dy = \mathrm{e}^{3t}\,dt
\int dy = \int \mathrm{e}^{3t}\,dt

Passo 3

Calculamos a integral do lado direito, lembrando de incluir a constante de integração C:
\int dy = y(t) + C_1
\int \mathrm{e}^{3t}\,dt = \frac{1}{3}\,\mathrm{e}^{3t} + C_2
Como C_1 e C_2 são constantes, podemos reunir ambas numa única constante C. Assim,
y(t) = \frac{1}{3}\,\mathrm{e}^{3t} + C.

Passo 4

Para conferir, derivamos y(t):
y'(t) = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3t} + C\Bigr) = \tfrac{1}{3}\cdot 3\,\mathrm{e}^{3t} + 0 = \mathrm{e}^{3t},
recuperando a EDO original.

Resposta

y(t) = \frac{1}{3}\,\mathrm{e}^{3t} + C,
onde C é constante de integração.

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