Mostre que as tangentes à curva
nos pontos
e
se interceptam sobre a curva
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as retas tangentes à curva
nos pontos de abscissa
e
intersectam-se em um ponto que satisfaz a equação
. Vamos usar derivadas para achar inclinações, depois formar as equações das tangentes, encontrar seu ponto de interseção e verificar que esse ponto está sobre
.
Passo 2
A derivada de
é
Em
a inclinação da tangente é
. A equação da reta tangente em
escreve-se
ou, reorganizando,
Passo 3
Em
a inclinação é
. A reta tangente em
satisfaz
que reorganizada fica
Passo 4
Para achar o ponto de interseção, igualamos as duas expressões de
:
Isso dá
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Verificamos agora se
satisfaz
:
Logo o ponto de interseção pertence exatamente à curva
.
Resposta
O ponto de interseção das tangentes é
, que está sobre a curva
, como era para mostrar.