Mostre que as tangentes à curva y=x^2 nos pontos x=a e x=a+2 se interceptam sobre a curva y=x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as retas tangentes à curva y=x^2 nos pontos de abscissa x=a e x=a+2 intersectam-se em um ponto que satisfaz a equação y=x^2-1. Vamos usar derivadas para achar inclinações, depois formar as equações das tangentes, encontrar seu ponto de interseção e verificar que esse ponto está sobre y=x^2-1.

Passo 2

A derivada de y=x^2 é
dydx=2x
Em x=a a inclinação da tangente é m1=2a. A equação da reta tangente em x=a escreve-se
y - a^2 = 2a,(x - a)
ou, reorganizando,
y = 2a,x - a^2

Passo 3

Em x=a+2 a inclinação é m2=2(a+2). A reta tangente em x=a+2 satisfaz
y - (a+2)^2 = 2(a+2),(x - (a+2))
que reorganizada fica
y = 2(a+2),x - (a+2)^2

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, igualamos as duas expressões de y:
2a,x - a^2 = 2(a+2),x - (a+2)^2
Isso dá
2a,x - a^2 - 2a,x - 4x = -l(a^2+4a+4r) Longrightarrow 4x = 4a+4 Longrightarrow x = a+1
Substituindo em y=2a,x - a^2, obtemos
y = 2a,(a+1) - a^2 = 2a^2+2a - a^2 = a^2+2a

Passo 5

Verificamos agora se l(x,yr) = l(a+1,;a^2+2ar) satisfaz y=x^2-1:
x^2-1 = (a+1)^2-1 = a^2+2a+1-1 = a^2+2a = y
Logo o ponto de interseção pertence exatamente à curva y=x^2-1.

Resposta

O ponto de interseção das tangentes é l(a+1,,(a+1)^2-1r), que está sobre a curva y=x^2-1, como era para mostrar.

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